Matematické Fórum

Kondr · 30. 04. 2008 00:31 — Editoval Kondr (30. 04. 2008 16:43)

Budiž zde dána jednoduchá "kuchařka" na úpravu vzorců, na kterou bude možno odkazovat. Časem ji trochu rozšířím a bude-li čas, přemístím ji mimo fórum, aby bylo možno přes kotvy odkazovat na jednotlivé vzorce.

V následujícím textu je n číslo přirozené, ztímco a,b mohou být čísla libovolná (reálná, komplexní, z okruhu $\mathbb{Z}_7$ ,... )

#
(1.1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
#
(1.2) $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
#
(1.3) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
#
(1.4) $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
#
(1.5) $(a+b)^n=a^n+{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+b^n$
#
(1.6) $(a-b)^n=a^n-{n\choose 1}a^{n-1}b^1+{n\choose 2}a^{n-2}b^2-\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose n-1}a^{1}b^{n-1}+(-1)^{n}b^n$
(vznikne z 1.5 náhradou b za -b; to se projeví změnou znamének sčítanců na sudých pozicích zleva)

#
(2.1) $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
#
(2.2) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
#
(2.3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
#
(2.4) $a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)$
#
(2.5) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})$
#
(2.6) Pro lichá k: $a^k+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+a^{k-3}b^2-\cdots+b^{k-1})$
#
(2.7) Pro sudá k: $a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})$
#
(2.8) $a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$

Následujíc vzorce platí pro kladné p a libovolná a,b; pro záporné p platí jen pro a,b přirozená (případně racionální s lichým jmenovatelem). Pokud se pohybujeme v komplexních číslech, pak p může být libovolné komplexní číslo a a,b libovolná reálná (o rozšíření na komplexní a,b je předpokládám zbytečné psát).
#
(3.1) $p^{ab}=(p^a)^b$
#
(3.2) $p^{a+b}=p^a\cdot p^b$
#
(3.3) $p^{a-b}=\frac{p^a}{p^b}$
#
(3.4) $p^{\frac{a}n}=\sqrt[n]p^a}$

#
(4.1) $\ln(p)=\log_e(p)$
#
(4.2) $\log_z(pq)=\log_z(p)+\log_z(q)$
#
(4.3) $\log_z(\frac{p}{q})=\log_z(p)-\log_z(q)$
#
(4.4) $\log_z(p^a)=a\cdot\log_z(p)$
#
(4.5) $\log_z(p)=\frac{\ln p}{\ln z}$

#
(5.1) $\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$
#
(5.2) $\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
#
(5.3) $\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$