Matematické Fórum

Asqwer · 29. 12. 2010 19:09

Dobry den, potreboval bych poradit s timhle prikladem $sinx-(3^{1/2})cosx>1$ .
Nejak takhle jem ten priklad resil a problem je v tom, ze nevim kde jsem udelal chybu, ze vysledky jsou odlisny.

Mythic · 30. 12. 2010 12:46

Příklad sem nijak nestudoval a ani jsem jej nezkoušel počítat sám, ale při letmém pohledu mě napadá, že by mohla být chyba s umocňováním. Jedná se o neadekvátní úpravu a je pak potřeba provést zkoušku, která je však v případě goniometrických rovnic poměrně náročná.

Rumburak

Problém je v umocňování nerovnice na druhou - není obecně jisté, zda relační znaménko ("<" nebo ">" ) se při takovéto operaci neotočí.
Například -3 < 2 , ale (-3)^2 = 9 > 4 = 2^2 .
Při umocňování nerovnice na druhou je proto nutno rozdělit řešení úlohy do několika větví tak, abychom v každé větvi měli jistotu, co se
po umocnění stane se znaménkem. Říká se tomu "diskuse".

Také je nutno pamatovat na to, že umocnění na druhou není ekvivalentní úprava. Dostaneme-li umocněním např. 2^2 < 3^2,
pak se tímto krokem ztratí informace o předchozím stavu : bylo to 2 < 3 nebo -2 < 3 ?

Tyto věci v Tvém postupu nebyly ohlídány.

Zde se dá s výhodou postupovat následovně:

$\sin x\,-\,\sqrt{3}\,\cos x \,>\,1$ , vydělíme dvěma:
$\frac{1}{2}\,\sin x\,-\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,\cos x \,>\,\frac{1}{2}$ , do levé strany dosadíme $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$ :
$\cos\frac{\pi}{3}\,\sin x\,-\,\sin\frac{\pi}{3}\,\cos x \,>\,\frac{1}{2}$ , použijeme (v obráceném směru) vzorec sin (a - b) = ... :
$\sin $x\,-\,\frac{\pi}{3}$ \,>\,\frac{1}{2}$ , odtud snadno

$\frac{\pi}{6} \,+\,2k\pi\,\,<\,\,x\,-\,\frac{\pi}{3} \,\,<\,\,\,\frac{5\pi}{6} \,\,+\,2k\pi$ , $k$ probíhá množinu všech celých čísel , atd.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2010 19:09

goniometricke nerovnice

#2 30. 12. 2010 12:46

Re: goniometricke nerovnice

#3 30. 12. 2010 12:57 — Editoval Rumburak (30. 12. 2010 13:00)

Re: goniometricke nerovnice

Zápatí