Matematické Fórum

kenedz · 30. 12. 2010 17:19

zdravim mam problem s vypoctem limity lim(x->0) ((1/(sin x))-(1/((e^x)-1))) vedel by si s tim nekdo rady??

halogan · 30. 12. 2010 17:59

↑ kenedz:

1) Převést na stejného jmenovatele.
2) Přes aritmetiku nahradit nepěkné funkce ve jmenovateli výrazem x^2.
3) L'Hospital.
4) Přičíst a odečíst jedničku v čitateli.

A pak už to je triviální.

Hezký konec roku přeji.

kenedz · 30. 12. 2010 18:06

↑ halogan:
díky ti a přeju ti to samé :-)

halogan · 30. 12. 2010 18:15

↑ kenedz:

A vyšlo to? Nebo je nějaký dotaz?

kenedz · 30. 12. 2010 18:20

↑ halogan:
no koukam, ze to neni tak jasne jak se mne zdalo to x^2 nahrazujes ve jmenovateli misto ceho? kdyz to dam na spolecny jmenovatel vyjde ti neco jako sinx*(e^x - 1)

halogan · 30. 12. 2010 18:26

Ano, to je on.

A jelikož známe pozoruhodné limity, tak víme, že obě funkce v tom součinu se kolem nuly chovají zhruba jako $x$ . Takže když to rozšíříme $x^2/x^2$ , tak pak přes aritmetiku můžeme vyhodit $x/\sin x$ a $x/(e^x - 1)$ (obojí limitně jednička).

Pokud píšu nesrozumitelně, tak se ptejte. Píšu rychle, protože mi tu chladne večeře :-)

kenedz · 30. 12. 2010 18:40

↑ halogan:
wow tak to koukam, že mně ohledné limit uniká hodně věcí :-) zkouším s tím bojovat, ale zatím bez výsledku, mohl byste sem hodit konkrétní část příkladu s vyhozením oněch krásných funkcí? myslím, že dál by neměl být problém dopočítat to :-)
přeju dobrou chuť

kenedz · 30. 12. 2010 18:49 — Editoval kenedz (30. 12. 2010 18:53)

↑ halogan:
tak myslim, že to nakonec mám, po dosazení jedniček a vykrácení tam zbyde něco jako 1/x - 1/x, což je pokud se nemýlím nekonečno - nekonečno, přes l'Hospitala tedy 0

halogan · 30. 12. 2010 18:52

Dosazení jedniček? A ne, 1/x - 1/x je bohužel špatně.

Ten postup výše funguje takhle nějak:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} \cdot \frac xx = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} \nl = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$

S tím, že f(x) je nějaká funkce.

Podobně se vystrnadí i e^x - 1.

kenedz · 30. 12. 2010 19:02

↑ halogan:
Ano, tak nějak jsem počítal a vyšlo mi tedy lim(1/x - 1/x), nechci, abyste se mnou ztrácel čas, takže se s tím zkusím popasovat už nějak sám díky za ochotu :-)

halogan · 30. 12. 2010 19:05

↑ kenedz:

No do tohohle stádia jste se dostal

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - \sin x}{x^2}$ , že?

Teď třeba L'Hospital.

kenedz · 30. 12. 2010 19:15

↑ halogan:
Nepozorností jsem tam udělal chybičku... Takže teď se daný výraz bude rovnat 0/0 ?

halogan · 30. 12. 2010 19:33

Tak dosadte, je to 0/0. Ty dalsi podminky L'Hospitala jsou tez splneny, tak muzeme derivovat.

kenedz · 30. 12. 2010 19:36

↑ halogan:
Super, tak díky za ochotu, myslím, že toto vlákno můžeme uzavřít :-)

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2010 17:19

limita

#2 30. 12. 2010 17:59

Re: limita

#3 30. 12. 2010 18:06

Re: limita

#4 30. 12. 2010 18:15

Re: limita

#5 30. 12. 2010 18:20

Re: limita

#6 30. 12. 2010 18:26

Re: limita

#7 30. 12. 2010 18:40

Re: limita

#8 30. 12. 2010 18:49 — Editoval kenedz (30. 12. 2010 18:53)

Re: limita

#9 30. 12. 2010 18:52

Re: limita

#10 30. 12. 2010 19:02

Re: limita

#11 30. 12. 2010 19:05

Re: limita

#12 30. 12. 2010 19:15

Re: limita

#13 30. 12. 2010 19:33

Re: limita

#14 30. 12. 2010 19:36

Re: limita

Zápatí