Matematické Fórum

Petrsuk

Ahoj,

potřeboval bych poradit s tímto příkladem, vůbec totiž nevím, jak to řešit, s fyzikou se totiž moc nekamarádím :D

zadání:
Spočtěte na jaký průměr se musí hadice z průměru 2 cm zúžit, má-li se rychlost výtoku zvětšit na osminásobek původní.

Díky všem za jakoukoliv radu.

Sulfan · 30. 12. 2010 19:54

rovnice kontinuity:

Citace z wikipedie:
Rovnice kontinuity je rovnice, která platí pro ustálené proudění ideální kapaliny v uzavřené trubici a popisuje vztah mezi rychlostí proudění v a obsahem průřezu S v jednom místě trubice.

Platí, že součin průřezu trubice a rychlosti tekoucí kapaliny je konstantní - tedy je zachován objemový průtok: $http://upload.wikimedia.org/math/5/1/1/5117994a1cc413637e1ab1f0f1ea1d18.png$

Ve vašem případě jde o rovnici $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$

Petrsuk · 30. 12. 2010 22:32

Díky, ale stejně mi to pořád není moc jasně, jak se dobrat řešení >
takže když zmenším průměr osmkrát, rychlost výtoku se zvětší na osminásobek původní?

mikl3 · 30. 12. 2010 22:34 — Editoval mikl3 (30. 12. 2010 22:42)

↑ Petrsuk: pozor na to! $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$ z tohohle vzorce dostáváme lineární závislost, ale průměr (dvojnásobek poloměru) není S... zkus si místo S dosadit vzorec pro S, myslím tím obsah kruhu... tam je to kvadratické, takže to bude jinak (na 2)
$\pi (\frac{d}{2})^2 =\pi \frac{d^2}{4}$
$\pi (\frac{8d}{2})^2=\pi \frac{64d^2}{4}$
když nyní oba výsledky vydělíme tak zjistíme, že jeden je 64násobkem druhého (druhá mocnina)

pardon, psal jsi změnším osmkrát, tak v tomhle případě to chápej, že původní průměr byl 8d

Sulfan · 30. 12. 2010 22:52 — Editoval Sulfan (30. 12. 2010 22:54)

rovnice kontinuity nám sedlácky říká, že máme potrubí, které má průřez $S_{1}$ (který snadno spočítáme z poloměru) a voda (nebudu používat slovo "kapalina", aby to nepletlo) v ní teče rychlostí $v_{1}$ . Teď si představme, že se ten průměr zvýší nebo sníží (prostě se to potřubí zúží nebo naopak stane širším) - to znamená že bude mít jiný průřez $S_{2}$ , a voda tady bude must téci jinou rychlostí $v_{2}$ .

Vztah mezi těmito veličinami právě určuje rovnice kontinuity, která (jak jsem již napsal nahoře) má tvar:
$S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$

Uvažujme, že průřez hadice je kruh a ne čtverec, elipsa .. apod. Obsah průřezu té hadice o průměru d = 2 cm je roven

$S_{1}=\frac{1}{4}\pi d^{2}=\frac{1}{4}\pi (0,02)^{2}= \pi\cdot 10^{-4} m^2$
rychlost průtoku u hadice s $S_{1}$ bude $v_{1}$

obsah průřezu u zúžené hadice potřebujeme spočítat a proto ho označíme $S_{2}$

rychlost $v_{2}=8v_{1}$ (voda je v druhé hadici 8x rychlejší)

Nyní to dáme všechno do rovnice:
$S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$
$\pi\cdot 10^{-4}\cdot v_{1}=S_{2}\cdot 8v_{1}$ v1 se v rovnici hezky vyžere a zbyde
a dostáváme hodnotu S2:
$S_{2}=\frac{\pi\cdot 10^{-4}}{8} m^2$

průměr d2 z obsahu průřezu S2 dostaneme pomocí vzorce pro obsah kruhu:
$S_{2}=\frac{\pi\cdot d_{2}^2}{4}$
vyjádříme d2:
$d_{2}=\sqrt{\frac{4S_{2}}{\pi}}$

dosadíme a vyjde přibližně, že

$d_{2}= 7\cdot 10^{-3}m=7mm$