Matematické Fórum

multak · 29. 12. 2010 15:34

Čau, prosím o pomoc s vyřešením těchto příkladů, vůbec nemám páru o tom jak je řešit:

1)
Napište rovnici kružnice, která prochází bodem A [8;4] a její střed leží na ose 1. a 3. kvadrantu.

Výsledek by měl vyjít: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 16 nebo (x-20)^2 + (y-20)^2 = 400

2) Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky p: y = -x + 6 v bodě T[8;-2] a prochází dalším bodem Q[-2;2]

Výsledek by tady měl vyjít: (x-3)^2 (y+7)^2 = 18

Dík za pomoc.

eminich · 29. 12. 2010 21:23

zadanie 1) ma nekonecne vela rieseni
a ta 2) by aj mna zaujimalo ako sa to riesi

Jan Jícha · 30. 12. 2010 02:00

↑ multak:

2)

Aby se kružnice dotkla přímky $y=-x+6$ v bodě $T=[-8,2]$ musí mít rovnici (x-3)^2 +(y+7)^2 = 50

multak · 30. 12. 2010 18:19

↑ Honza Matika:
Dík, ale já bych potřeboval ten postup řešení.

Jan Jícha · 31. 12. 2010 00:47

Najdi si souřadnici středu.

Vycházej z toho, že střed leží na přímce y=x-6 (kolmice na přímku p, která prochází bodem T) a vzdálenost středu od T a od Q musí být stejná.

y=x-6
|ST|=|SQ|

Dvě rovnice, dvě neznámé.

Dál zvládneš?

zdenek1 · 31. 12. 2010 10:23

↑ Honza Matika:
Tady je něco špatně.
a) v zadání je $T[8;-2]$ a ty uvádíš $T[-8;2]$ . Proč?
b) kolmice k $y=-x+6$ bodem $T$ není $y=x-6$ a to ani pro původní $T$ ani pro tvé $T$ (stačí dosadit).

Chrpa · 31. 12. 2010 10:26 — Editoval Chrpa (31. 12. 2010 17:52)

↑ multak:
2)
Kružnice bude mít střed S(x; y) a bude mít tvar:
1) $(8-x)^2+(-2-y)^2=r^2$ prochází bodem T(8; -2)
2) $(-2-x)^2+(2-y)^2=r^2$ prochází bodem Q(-2; 2)
Úpravou rovnic 1) a 2) dostaneme:
$5x-2y-15=0$ na této přímce bude ležet střed kružnice
Protože bod T je bodem dotyku potom kolmice na přímku $y=-x+6$ procházející bodem T
bude mít tvar:
$x-y+c=0$ po dosazení souřadnic bodu T dopočteme c tedy:
$8-(-2)+c=0\nlc=-10$
Rovnice kolmé přímky bude:
$x-y-10=0$
Průsečík rovnic: $5x-2y-15=0$ a $x-y-10=0$ bude hledaný střed kružnice tj:
$x-y-10=0\nl5x-2y-15=0$ - řešením dostaneme:
$S=\left(-\frac 53;\,-\frac{35}{3}\right)$
Teď stačí dopočítat poloměr hledané kružnice třeba z rovnice 1)
$(8-x)^2+(-2-y)^2=r^2\nl\left(8+\frac 53\right)^2+\left(-2+\frac{35}{3}\right)^2=r^2\nlr^2=\frac{1682}{9}$
Nebo jako vzdálenost bodů S a T
Rovnice kružnice bude:
$\left(x+\frac 53\right)^2+\left(y+\frac{35}{3}\right)^2=\frac{1682}{9}$ - úpravou bude rovnice vypadat:
$3x^2+3y^2+10x+70y-144=0$