Matematické Fórum

Azeret · 30. 12. 2010 14:09 — Editoval Azeret (30. 12. 2010 14:55)

Ahoj mám problém s jedním důkazem (myslím, že tvrzení neplatí, ale můj důkaz říká, že platí).
Mějme tvrzení: $A$ je singulární $\Rightarrow \left( \exist n \in \mathbb{N} \right) \left(A^n = 0 \right)$ . Ověřte zdalí platí. Předpokládám, tedy, že platí.
Důkaz sporem (tedy negace inplikace): $A$ je singulární $\wedge \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(A^n \neq 0 \right)$ .
Tedy stačí nají singulární matici, pro kterou $A^n = 0$ . To je libovolná matice, která má jedničky na vedlejší diagonále nad diagonálou a pak samé nuly,napr:
,
(to, že pro ni $\exist n$ , pro které $A^n = 0$ se ověří mat. násobením snadno. To je tedy spor a platí původní implikace.

Naproti tomu, mějme matici například
,
asi to neumím rigorozne dokázat, ale pokud tuhle matici budu mocnit kolikrát chci, tak to nulu nikdy nedá (pouze se budou zvysovat hodnoty v prvnim a tretim sloupci). Což je ve sporu s původní implikací a někde v důkazu je tedy asi chyba.

Budu vděčná za každou radu, díky.

Stýv · 30. 12. 2010 14:29

ten tvůj "důkaz" totiž vůbec nic nedokazuje. a triviální protipříklad k tvrzení je matice
$A=\begin{pmatrix}1&0\nl0&0\end{pmatrix}$ , jelikož $A^n=A\quad \forall n$

FailED · 30. 12. 2010 14:36

Čau,

ty pro spor předpokládáš, že existuje taková singulární matice, pro kterou pravá strana ekvivalence neplatí. Abys tvrzení dokázala, musela bys s tímto předpokladem dojít ke sporu.

Pokud chceš ověřovat, pro které singulární matice pravá strana platí, pro důkaz toho tvrzení to musíš ověřit pro každou.

Tím že jsi našla matici máš protipříklad a tvrzení tedy neplatí.

Mimochodem stačí třeba matice .

Azeret · 30. 12. 2010 14:49

↑ FailED: Díky za odpověď. Můžu se jen ještě zeptat, na to, kde se vzal ten identifikátor $\exist$ v tom předpokladu pro spor? Pokud tam, je, pak chápu proč je to špatně.

FailED · 31. 12. 2010 01:18

Pro spor předpokládáš že tvrzení neplatí, tedy jeho negaci. Když máš dokázat že něco plyne ze singularity A, musí to platit pro všechny A singulární. Negace je tedy že existuje singulární A pro které to neplatí.

Azeret · 31. 12. 2010 14:27

↑ FailED:
ja tedy asi nerozumim principu dukazu sporem. Pokud mám implikaci $A \Rightarrow B$ , pak predpoklad pro spor je $non \left(A \Rightarrow B \right) = A \wedge non B$ . Tedy s vyrokem $A$ se nic nedeje . . .A proto, kdyz to ma platit pro vsechny singularni matice (to je vyrok A), tak nevim, proc se to pak ''zmeni'' na existuje takove matice . .
jinak predem se omlouvam, za sve dlouhe vedeni . .:)

FailED · 31. 12. 2010 14:42

↑ Azeret:

Protože ty tady hledáš protipříklad a ten stačí jeden. Pro spor vlastně předpokládáš existenci protipříkladu, nevím jak to jinak vysvětlit, snad někdo jiný.

maly_kaja_hajnejch-Lazov

Muj nazor: Takze dokazujeme ze singularnost implikuje nilpotentnost (nejaka mocnina je rovna nulove matici). Sporem to vedeme tak, jak pisete: ze prepokladame, ze matice A je singularni a neni nilpotentni a musime dojit ke sporu. To se dokazuje dost blbe a ve Vasem prispevku jste to neudelal. Tam jste nasel singularni matici ktera nilpotentni je a pak jste nasel jinou singularni matici, ktera nilpotentni neni.

Aspon tak nas to ucil pan ridici v Lazove

Azeret · 31. 12. 2010 15:26

↑ FailED:
Ok, díky - pro spor hledám existenci protipříkladu - to mi stačí :)
díky moc

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2010 14:09 — Editoval Azeret (30. 12. 2010 14:55)

Singulární matice (důkaz sporem)

#2 30. 12. 2010 14:29

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

#3 30. 12. 2010 14:36

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

#4 30. 12. 2010 14:49

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

#5 31. 12. 2010 01:18

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

#6 31. 12. 2010 14:27

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

#7 31. 12. 2010 14:42

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

#8 31. 12. 2010 14:45 — Editoval maly_kaja_hajnejch-Lazov (31. 12. 2010 14:47)

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

#9 31. 12. 2010 15:26

Re: Singulární matice (důkaz sporem)

Zápatí