Matematické Fórum

blanvan · 02. 01. 2011 15:55

Zdravím :)

Chtěla bych moc poprosit o kontrolu, popř. radu následujícího příkladu:

Zadání:
Rozhodněte o dané posloupnosti, zda je omezená (určete meze), monotónní (dokažte), má vlastní limitu (určete ji):

{1 - [(n+1)/(n+2)]}

Prvních pár členů: a_1 = 1/3, a_2 = 1/4, a_3 = 1/5

Posloupnost konverguje k 0.
Shora omezená.
Zdola omezená není. .... podle vyučujícího omezená zdola je, ale pořád na to koukám a tu omezenost zdola tam nevidím :(
Klesajicí : a_n>a_(n+1) - pokud n = 1, pak po dosazení: 1/3 > 1/4, tj. a_1 > a_2....stačí pro důkaz tento zápis?

Děkuji moc!!

Sulfan · 02. 01. 2011 16:14 — Editoval Sulfan (02. 01. 2011 19:19)

Pokud limita konverguje k 0 a navíc je klesající, z toho jasně vyplývá, že bude zdola omezená. (třeba pro hodnoty $a_{n}=0$ nedosáhne pro žádné n)

Vycházejme z definice klesající posloupnosti:

$\forall n \in N; a_{n}>a_{n+1} \nl \forall n \in N; 1-\frac{n+1}{n+2}>1-\frac{n+2}{n+3} \nl \forall n \in N; \frac{n+1}{n+2} < \frac{n+2}{n+3} \nl \forall n \in N; (n+1)(n+3)<(n+2)(n+2) \nl \forall n \in N; n^2+4n+3 < n^2+4n+4 \nl \forall n \in N; 3 < 4$
a ten poslední výrok je zřejný - důkaz však postupuje od zdola nahoru!

blanvan · 02. 01. 2011 16:36

↑ Sulfan:

Takže zdola omezená je nulou?

Děkuji moc za vysvětlení!

Sulfan · 02. 01. 2011 16:46 — Editoval Sulfan (02. 01. 2011 16:46)

↑ blanvan:
Dá se to tak říci, ale může být zdola omezená třeba i mínus jedničkou, mínus desetiticíci ...

Definice zdola omezené posloupnosti:
$\exists d \in \mathbb{R}$ $\forall n \in \mathbb{N};a_{n} \geq d$

To znamená, že stačí nalézt jedno reálné číslo $d$ , aby pro všechny prvky posloupnosti platilo, že hodnota $a_{n} \geq d$ . To znamená, že graf posloupnosti v souřadném systému nikdy "nepřekročí" přímku y=d (bude vždy "nad ní").

blanvan · 02. 01. 2011 18:02

Když si vypočítám další posloupnosti, tak vždy jsou větší než 0, takže v tomto případě bude reálné číslo d = 0..je to tak?

Sulfan · 02. 01. 2011 18:23 — Editoval Sulfan (02. 01. 2011 18:25)

↑ blanvan:
Jasně že to může být třeba d=0.

Ale pro tu definici stačí najít aspoň nějaké reálné číslo pro které to platí. Takže to nemusí být jen 3, ale i třeba

$d=-1,-999,-\frac{1}{5}, ... etc$ .

Takže čísla z intervalu $\left ( 0;\infty )$

Prostě stačí nalézt jedno číslo, pro které to platí, a když jsi ho našla, tak si tím dokázala že je posloupnost omezená zdola.