Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Ahoj, nevím si rady s tímhle:

Když umístím počátek do bodu C, tak rovnice řetězovky bude $y=\frac{T_0}{q}(\cosh{(\frac{q}{T_0}x)-1})$ , kde $T_0$ je vodorovný tah v bodě C, q je ta měrná hmotnost (délková hustota). Poradíte mi někdo jak dál? Dík!

zdenek1

↑ FliegenderZirkus:
Předem upozurňuju, že jsem nic nepočítal a toto jsou jen nápady.
a) nelíbí se mi koeficient $\frac q{T_0}$ protože nesedí jednotky. $q$ by mělo být v kg/m, $T_0$ v Newtonech a nezkrátí se to. Podle mě tam chybí tíhové zrychlení $\frac {gq}{T_0}$

b) pokud budeš mít správně funkci pro řetězovku, tak $q$ určíš z podmínky, že musí procházet bodem $B[7,5;5]$ , ale musíš znát $T_0$
c) $T_0$ určíš z vlastnosti, že vodorovná složka napětí je ve všech bodech stejná. A napětí má směr tečny v příslušném bodě.
$\frac{dy}{dx}=\frac{T_y}{T_x}$
a v bodě $A$ $\sqrt{T_y^2+T_x^2}=mg$ , kde $m$ je hmotnost toho závaží

edit: délka vlákna podle $l=\int_A^B\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$

FliegenderZirkus

↑ zdenek1:
a) Máš pravdu, do toho vzorce $y=\frac{T_0}{q}(\cosh{(\frac{q}{T_0}x)-1})$ se musí za $q$ dosadit v jednotkách $\text{N\cdot m^{-1}}$ , tak to máme i ve skriptu (str.4), říkají tam tomu měrná tíha. Zůstanu u tohodle značení, i když Tvůj návrh s násobením gravitačním zrychlením by samozřejmě fungoval taky :-)

c) $\frac{T_y}{T_x}=\frac{T_y}{T_0}=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\frac{T_0}{q} \sinh{(\frac{q}{T_0}x)}\cdot \frac{q}{T_0}=\sinh{(\frac{q}{T_0}x)} \ \Rightarrow \ T_{Ay} = T_0 \cdot \sinh(\frac{q}{T_0}x_{A})$

Pro bod A:

b) Dosazení souřadnice bodu B:

Přibližné řešení je podle počítače $h=34,67 \text{ N\cdot m}^{-1}$ , odtud $T_0 = mg-qy_A = 40\cdot 9,81-34,67\cdot 5=219 \text{ N}$ a rovnice tvaru vlákna bude

A délka křivky:
$l=\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=2 \int_{0}^{7,5}\sqrt{1+\left( 0,1578 \cdot \cosh(0,158x) \right)^2}dx=15,3 \text{ m}$
Tady ale něco nesedí, protože ta délka určitě musí být větší než $2\sqrt{5^2+7,5^2}=18\text{ m}$
Chápu, že se Ti to nebude chtít celé kontrolovat, ale kdyby tam nějaká chyba vyčnívala, tak budu vděčný! :-)

EDIT: Omylem jsem do vzorce pro délku křivky dosadit druhou derivaci, s tou první to vychází smysluplně: l = 18,76 m.

zdenek1 · 02. 01. 2011 21:49

↑ FliegenderZirkus:

Nevidím dosazení za $x_B$

FliegenderZirkus · 02. 01. 2011 22:16

↑ zdenek1:
Opraveno, naštěstí mi to $x_B$ chybělo jen v TeXu, na papíře i při výpočtu bylo. Správný výsledek bohužel neznám, ale tohle mi připadá realistické, tak dík za pomoc :)

Pavel Brožek

↑ FliegenderZirkus:

Provedl jsem nezávislý výpočet (až na výsledky jsem nečetl tvé řešení) a vyšla mi délková hustota $3,53435\,\textrm{kgm}^{-1}$ a délka provázku mezi A a B $18,78029\,\textrm{m}$ . Hodnoty jsou zaokrouhlené na poslední platnou číslici. Délka tedy neodpovídá tvému výsledku. Mám to řešit, nebo jsi zaokrouhloval někde v mezivýsledku?

FliegenderZirkus · 02. 01. 2011 23:41

↑ BrozekP:
Já popravdě zaokrouhloval hlava nehlava, protože tu úlohu nikde neodevzdávám, můj výsledek: $\varrho = \frac{q}{g} = \frac{34,67}{9,81}=3,534 \text{ kg/m}$ , takže taková shoda mi rozhodně postačuje. Stejně tak mých 18,76 metrů a tvých 18,78 mě velmi těší :-) Díky!

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2011 11:51 — Editoval FliegenderZirkus (02. 01. 2011 12:37)

Tíhová řetězovka

#2 02. 01. 2011 18:19 — Editoval zdenek1 (02. 01. 2011 18:22)

Re: Tíhová řetězovka

#3 02. 01. 2011 20:27 — Editoval FliegenderZirkus (02. 01. 2011 22:14)

Re: Tíhová řetězovka

#4 02. 01. 2011 21:49

Re: Tíhová řetězovka

#5 02. 01. 2011 22:16

Re: Tíhová řetězovka

#6 02. 01. 2011 22:32 — Editoval BrozekP (02. 01. 2011 22:34)

Re: Tíhová řetězovka

#7 02. 01. 2011 23:41

Re: Tíhová řetězovka

Zápatí