Matematické Fórum

sL1 · 02. 01. 2011 23:03

Zdravím,

Zdroj
u příkladu se spektrálním rozkladem jsem pomocí Sarrusova pravidla snažím vypočítat determinant a vlastní čísla.

Došel jsem až k výrazu $x^2(x-7)=-36$ , ze kterého nejsem schopen dále určit kořeny rovnice (Kubické?). Podle WolframAlpha by měli vyjít 6,3,-2.
Pokud by byl někdo schopný mi říci jak na to bylo by to skvělé ;)

jelena · 02. 01. 2011 23:22

upravou>
$x^2(x-7)=-36$
$x^3-7x^2+36=0$
$x^3-6x^2-x^2+36=0$ už se podaří?

sL1 · 03. 01. 2011 09:55

I přes mou snahu se mi pomocí vzorcu, vytýkáním nedaří dostat do fáze, kdy sem schopen kořeny vypočíst. Pokud byste byla schopná mi třeba napsat jen poslední fázi už bych se do toho snad nějak dokázal dostat :)

jelena · 03. 01. 2011 10:05

Zkusím být "byla schopná":

$x^3-6x^2-x^2+36=0$
$x^2(x-6)-(x^2-36)=0$
$x^2(x-6)-(x-6)(x+6)=0$
$(x-6)(x^2-x-6)=0$ a teď už se podaří? Děkuji.

LukasM · 03. 01. 2011 10:11

↑ sL1:
Obecně je dobré u toho výpočtu determinantu nespěchat, a místo slepé aplikace Sarrusova pravidla (které já třeba nepoužívám nikdy) si to zkusit nějak ulehčit. U tohoto determinantu bych připočetl první řádek ke druhému (což hodnotu det nezmění), a následně provedl rozvoj podle druhého řádku. Pak nebudeš muset řešit rovnici třetího stupně, ale pouze druhého.

Ber to jako alternativu postupu, který navrhuje jelena (zdravím :-)), který je samozřejmě také v pořádku.

sL1 · 03. 01. 2011 10:40

jelena napsal(a):
Zkusím být "byla schopná":

$x^3-6x^2-x^2+36=0$
$x^2(x-6)-(x^2-36)=0$
$x^2(x-6)-(x-6)(x+6)=0$
$(x-6)(x^2-x-6)=0$ a teď už se podaří? Děkuji.

Teď už se podaří. Děkuju mnohokrát :)

LukasM: Ano, i to by byla možnost avšak přišlo mi(nesprávně) lepší, použít právě Sarruse. Díky vám už vím, že to nemusí být vždycky cesta, vedoucí k úspěšnému řešení ;) Taktéž díky :)

Rumburak · 03. 01. 2011 10:54

Mně oběma metodami charakteristický polynom vyšel ve tvaru (5 - x)(x + 2)(x - 4) .

sL1 · 03. 01. 2011 10:58

To by ovšem znamenalo, že výsledek bude jiný, než se kterým počítáme x(

LukasM · 03. 01. 2011 11:11

↑ Rumburak:
Ahoj. Opsal sis dobře zadání? Wolfram souhlasí s tím původním výsledkem.

Rumburak · 03. 01. 2011 11:21

↑ LukasM:
Ahoj a díky. Mezitím jsem už odhalil zkouškou, že mnou nalezená čísla 4, 5 jsou chybná.

Zadání jsem si sice opsal dobře, ale asi jsem v každém z obou postupů udělal obdobnou chybu ,
i když zatím nevím jakou - k jejímu nalezení budu potřebovat časový odstup.

sL1 · 03. 01. 2011 20:48

Tak tedy za vaší pomoci se mi podařilo spočíst ty vlastní čísla.

Problém bohužel nastává i u vlastních vektorů. Po dosazení vlastních čísel do matic a následných úpravách pomocí gausse jsem spočítal první dva vektory.

v1 = [-1/2t, 1/2t, t] pod dosazení t=2 dostávám v1 = [-1, 1, 2] což je podle Wolfa dobře.

v2 = [t, -t, t] což po dosazení t=1 => v2 = [1, -1, 1] což taky odpovídá.

Problém však mám u 3. vektoru. Dostal jsem se až k matici:
3 -3 -1
0 0 20
0 0 0

a teď si nejsem jistý, jaký je výsledný vektor. Když za x3 zavedu substituci za t jak mám pokračovat? U x2 mi tím pádem vyjde x2 = 0 je to tak?

LukasM · 03. 01. 2011 21:41

↑ sL1:
Úpravy jsem nekontroloval, dejme tomu, že jsou dobře. Takže máš soustavu pro $x_1,x_2,x_3$

$3x_1-3x_2-x_3=0\nl 20x_3=0$ ,

a chceš mi tvrdit, že $x_3$ může být libovolné, a $x_2$ musí být nula?

sL1 · 03. 01. 2011 21:48

Já raději netvrdím nic xD
Čili $x_3 = 0$ ? A jak vyjádřím $x_2, x_1$

LukasM · 03. 01. 2011 22:35

↑ sL1:
Ano, $x_3$ je samozřejmě nula. V $x_2$ máš naopak absolutní volnost, takže si nějaké vymysli (ale nenulové). $x_1$ pak dopočítáš z první rovnice.

Tohle ale už nemá se spektrálním rozkladem nic společného, je to čistě řešení soustav lineárních rovnic.

sL1 · 03. 01. 2011 22:45

Paráda. :)

Čili
$x_3 = 0$
$x_2(volim) = 1$
a z rovnice $3x_1-3x_2-x_3=0$ vyplývá po dosazení, že $3x_1 = 3$ => $x_1 = 1$ a tím pádem v3 = [1, 1, 0] což odpovídá Wolframu.

Děkuji mnohokrát (i za trpělivost) ;)

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2011 23:03

Spektrální rozklad - vlastní čísla

#2 02. 01. 2011 23:22

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#3 03. 01. 2011 09:55

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#4 03. 01. 2011 10:05

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#5 03. 01. 2011 10:11

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#6 03. 01. 2011 10:40

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

jelena napsal(a):

#7 03. 01. 2011 10:54

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#8 03. 01. 2011 10:58

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#9 03. 01. 2011 11:11

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#10 03. 01. 2011 11:21

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#11 03. 01. 2011 20:48

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#12 03. 01. 2011 21:41

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#13 03. 01. 2011 21:48

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#14 03. 01. 2011 22:35

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

#15 03. 01. 2011 22:45

Re: Spektrální rozklad - vlastní čísla

Zápatí