Matematické Fórum

nika.v · 02. 05. 2008 12:12 — Editoval nika.v (02. 05. 2008 12:17)

Ahoj lidičky, mám problém s 4 limitami. Pomůžete? Děkuju. pa eja

$\lim_{x \to \0}(\frac{sinx}{x})^{\frac{1}{x}}$

$\lim_{x \to \0}(1+x)^{lnx}$
zde by šlo snad rovnou dosadit? = (1+0)^ln0=(1+0)^1=1

$\lim_{x \to \0}(1+tgx)^{\frac{1}{x}}$

$\lim_{x \to \0}(e^\frac{x^2}{2}*cosx )^{\frac{4}{x^4}}$

PS: něka mi blbne text - za závorkou jde vždy o mocninu na 1/x, na lnx, na 4/xna4

Lishaak: TeX opraven

Kondr · 02. 05. 2008 15:41

Přístup (1+0)^ln0=(1+0)^1=1 nefunguje, protože logaritmus nuly je -oo. Musí se použít vztah
$\lim_{x\to x_0} f(x)^{g(x)}=e^{\lim__{x\to x_0}\ln(f(x))g(x)}$ ,
pak pomůže L'Hospital.
Ve druhém a třetím příkladě jde použít trik s eulerovým číslem, ukážu to na tom druhém:
$\lim_{x\to \infty} (1+\frac1{x})^x=\lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x}=e$
$\lim_{x\to 0} (1+x)^{\ln x}=\lim_{x\to 0} [(1+x)^{1/x}]^{x\ln x}=\lim_{x\to 0} e^{x\ln x}=e^0=1$
(proč jde x lnx k nule není zřejmé, ale už je to opět standardní L'Hospital.

Saturday · 02. 05. 2008 20:38

↑ nika.v: Jen dodám, že $1^{\infty}$ je nedefinovaný výraz, proto nemůžeš udělat úpravu, kterou jsi naznačila u druhého příkladu
(viz např. http://www.fsid.cvut.cz/cz/U201/map/mat … app201.htm)

nika.v · 05. 05. 2008 10:55

↑ Kondr:

No, to jsi moc nepomohl. Mě ty limity nejdou do hlavy. Písnu moje pokusy a úvahy, mrkneš se na ně?

U prvního příkladu vím, že lim, když x jde k 0 argumentu sinx/x je pravidlem = 1, ovšem mrší mi to tu 1/x, ale zase 1 na cokoliv je vždy 1 a při použití l´Hospitala mi vyjde hrůza.

U příkladu s (1+tg x) na 1/x, když použiji l´Hospitala, tak se nikam nedostanu a upravit to na výraz (1+x)na1/x fakt neumím.

Poslední příklad s (ena (xna2/2) * cosx)na (4/xna4), tak na tento příklad koukám cca 14 dní a nic jsem nevymyslela. Když zkusím l´Hospitala zase mi vyjde hrůza.

Jorica · 05. 05. 2008 11:23 — Editoval Jorica (05. 05. 2008 14:09)

↑ nika.v:
urcite budes muset postupovat podle vztahu, co ti tu navrhl ↑ Kondr:, a to:

$\lim_{x\to x_0} f(x)^{g(x)}={\mathrm e}^{\lim__{x\to x_0}\ln(f(x))g(x)}$

Neni totiz pravda, ze 1 na cokoliv je 1...prave $1^{\infty}$ je neurcity vyraz, pokud pouzijes vyse uvedeny vztah, prevedes limitu na tvar nula lomeno nulou a pouzijes l'Hospitala...zkusim naznacit:

$\lim_{x \to 0}(\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0} {\mathrm e}^{\ln(\frac{\sin x}{x})^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\to 0} {\mathrm e}^{{{\frac{1}{x}}}\cdot\ln(\frac{\sin x}{x})}={\mathrm e}^{\lim_{x\to 0} {{\frac{1}{x}}}\cdot\ln(\frac{\sin x}{x})}={\mathrm e}^{*}$ , kde

$*=\lim_{x\to 0} {{\frac{1}{x}}}\cdot\ln(\frac{\sin x}{x})$

Pokud vyraz za limitou zapises takto:

$*=\lim_{x\to 0} {{\frac{\ln(\frac{\sin x}{x})}{x}$ , dostavas po dosazeni nuly neurcity vyraz nula lomeno nulou a pouzijes l'Hospitala...nekolikrat za sebou, az se dopracujes k vyseldku....a ten pak dosadis do exponentu cisla e (misto *) a mas hodnotu vysledne limity.

Editace: tak mi po 3 l'Hospitalech vysla samotna limita rovna 0 a po dosazeni do exponentu je vysledek zadane limity ${\mathrm e}^0=1$ ...tak snad tam neni chyba ;)

Ostatni priklady bys mela pocitat obdobne.

Jorica · 05. 05. 2008 11:45

Porad jsem nemohla prijit na zadani toho posledniho a ted jsem to louskala z tveho slovniho popisu...je to takto?

$\lim_{x \to \0}${\mathrm e}^{\frac{x^2}{2}}\cdot\cos x$^{\frac{4}{x^4}}$

nika.v · 05. 05. 2008 12:31

↑ Jorica:

jojo, takhle ten hnus vypadá, já už jsem z toho na prášky, jdou mi jednoduché limity, ale tyhlety ani omylem

nika.v · 05. 05. 2008 13:00 — Editoval nika.v (05. 05. 2008 13:09)

U prvního příkladu jsem zkusila toto:
$\mathop{\lim}\limits_{x \to \0}(\frac{sin x}{x})^\frac{1}{x}$ = l´Hospital
$\frac{1}{x}(\frac{sinx}{x})^\frac{1-x}({x}) (\frac{x*cosx - sin x}{x^2 })$
$\frac{1}{x}(\frac{sinx}{x})^\frac{1}({x})(\frac{x}{sinx})*$
$(\frac{cosx}{x}-\frac{sinx}{x^2 })$

No, ale teď babo raď. To mám stále pokračovat s l´Hospitalem? Po pravdě ani nevím jak, protože umím (fg)´, ale (abcd)´ to fakt neumím
a mimochodem, když si tyto zápisy frknu do texu, tak je to v pohodě a jak je lupnu sem, tak mi to v náhledu ukazuje chyby, to jsem z toho jelenec

Jorica · 05. 05. 2008 14:05 — Editoval Jorica (05. 05. 2008 14:10)

↑ nika.v:
Z toho zapisu nejsem moc moudra, jak jsi to derivovala :( koukni na ten muj postup a vyslednou limitu $*=\lim_{x\to 0} {{\frac{\ln(\frac{\sin x}{x})}{x}$ (aby sel pouzit l'Hospital, musi to byt podil a po dosazeni musi vychazet 0/0 nebo oo/oo), coz ta moje limita splnuje...u te tve to nedokazu posoudit, ten zacatek se mi nezobrazuje...ted derivuj zvlast citatele (jako slozenou fci) a zvlast jmenovatela ....pokud budes pouzivat l'Hospitala nekolikrat, porad musis mit za limitou podil 0/0 nebo oo/oo.

Natukam ti dalsi kousek z te 1...ostatni priklady jsou totez dokola, nekde jsem tu na smiraku pocitala i tu posledni limitu a vyslo mi snad ${\mathrm e}^{\frac 13}$ ...ted to nemuzu najit, ale postup byl stejny...tak k te 1:

$*=\lim_{x\to 0} {{\frac{\ln(\frac{\sin x}{x})}{x}=\{\frac 00\}$ l'Hospital

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}{1}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}=\{\frac 00\}$ l'Hospital

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-x\sin x-\cos x}{\sin x+x\cos x}=-\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{\sin x+x\cos x}=\{\frac 00\}$ l'Hospital

$-\lim_{x\to 0}\frac{\sin x+x\cos x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=\frac 02=0$

No a kdyz nulu vratim do exponentu, vyjde, jak uz jsem psala ${\mathrm e}^0=1$

Podrobneji uz to rozepsat neumim, je tam kazdy krok, samo, ze derivuji citatele a jmenovatele zvlast, jen jsou tam souciny, takze uvazit derivaci soucinu. Za preklepy se omlouvam, tukam to tu se synem na kline a porad se mi snazi opravovat chyby :)