Matematické Fórum

pr... · 02. 01. 2011 22:15 — Editoval pr... (02. 01. 2011 22:17)

Prosím o pomoc, nevím si rady s tímto příkladem: 16x^2+25y^2-32x-84=0, P=[3;0]. Se samotnou elipsou nemám problém, ale z bodu P mám vést k elipse tečny a nevím jak spočítat body dotyku s elipsou.
Předem děkuji za pomoc.

jelena · 02. 01. 2011 22:52

Zdravím, obdobná úloha je řešená zde.

Cheop · 03. 01. 2011 08:13

↑ pr...:
Bod P(3,0) je vnitřním bodem elipsy $16x^2+25y^2-32x-84=0$ tedy tečny neexistují

pr... · 03. 01. 2011 22:39

Nenašel by se někdo ochotný a napsal mi sem celý výpočet včetně té elipsy, teď jak jsem se dozvěděl že je ten bod uvnitř, tak jsem zjistil že mám špatně vypočítanou i tu samotnou elipsu. Děkuji

jelena · 03. 01. 2011 22:54

↑ pr...: a zadání pro samotnou elipsu je kde? Děkuji.

↑ Cheop: děkuji za opravu, tak podrobně jsem nekontrolovala.

Zdravím.

pr... · 04. 01. 2011 06:35

↑ jelena: 16x^2+25y^2-32x-84=0, P=[3;0] - zjisti včechny charakteristiky zadané kuželosečky a najdi body dotyku tečen z bodu P.

Cheop · 04. 01. 2011 08:33 — Editoval Cheop (04. 01. 2011 09:06)

↑ pr...:
1) Převedeme rovnici kuželosečky na středový tvar
$16x^2+25y^2-32x-84=0\nl16(x-1)^2-16+25y^2=84\nl16(x-1)^2+25y^2=100\nl\frac{16(x-1)^2}{100}+\frac{25y^2}{100}=1\nl\frac{4(x-1)^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$ - jedná se o elipsu
2) Určíme střed elipsy
Ze středového tvaru vidíme, že střed elipsy je: $S=(1,0)$
3) Určíme velikost hlavní a vedlejší poloosy elipsy
$a^2=\frac{25}{4}\nla=\frac 52\nlb^2=4\nlb=2$
4)
Určíme excentritu elipsy
$e^2=a^2-b^2\nle^2=\frac{25}{4}-\frac{16}{4}\nle^2=\frac 94\nle=\frac 32$
5) Určíme souřadnice ohnisek elipsy
$E=(1-\frac 32;\,0)=(-0.5;\,0)\nlF=(1+\frac 32;\,0)=(2.5;\,0)$
Protože bod B elipsy má souřadnice
$B=(1+a;\,0)=(3.5;\,0)$ potom bod $P=(3;\,0)$ je vnitřním bodem elipsy a z toho plyne, že
z tohoto bodu nemohou existovat tečny k elipse tedy ani souřadnice tečných bodů z bodu P

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PS:
Nemá mít bod P souřadnice $P=(0;\,3)$

pr... · 04. 01. 2011 14:13

souřadnice jsou správně, ale kdyby byli naopak [0;3], tak by výpočet vypadal jak? Děkuji

Cheop · 04. 01. 2011 16:36 — Editoval Cheop (05. 01. 2011 08:12)

↑ pr...:
Abychom mohli určit souřadnice bodu dotyku tečen a elipsy pak musíme nejdříve určit rovnice tečen.
Rovnice tečen k elipse bude mít tvar:
$y=kx+q$ - směrnicový tvar přímky
Protože tečna má procházet bodem P=(0,3) potom do této rovnice dosadíme souřadnice bodu P a dostaneme:
$3=k\cdot 0+q\nlq=3$
Rovnice tečen bude:
$y=kx+3$ tuto rovnici dosadíme do rovnice elipsy.
$16x^2+25(kx+3)^2-32x-84=0\nl16x^2+25k^2x^2+150kx+225-32x-84=0\nlx^2(25k^2+16)+x(150k-32)+141=0$
Toto je kvadratická rovnice a ta má jeden dvojnásobný kořen právě když její diskriminant je roven nule ( mají to být tečny-přímka a elipsa mají právě jeden společný bod) tj.
$(150k-32)^2-4\cdot 141(25k^2+16)=0$ - úpravou dospějeme k rovnici:
$21k^2-24k-20=0\nlk_1=1,7023183\nlk_2=-0,559461$
Rovnice tečen:
$t_1:\,y=1,7023183x+3\nlt_2:\,y=-0,559461x+3$
Nyní určíme souřadnice bodu dotyku
Dosadíme do $x^2(25k^2+16)+x(150k-32)+141=0$ k_1 resp. k_2 a vypočteme x-ovou souřadnici bodu dotyku tj:
$x^2(25\cdot 1,7023183^2+16)+x(150\cdot 1,7023183-32)+141=0$
řešením je: $x\dot=-1,2626$ - dopočteme y-ovou souřadnici tj:
$y=1,7023183x+3\nly=1,7023183\cdot (-1,2626)+3\nly=0,85065$
$T_1=(-1,2626;\,0,85065)$
Obdobně vypočítáme bod dotyku pro $k_2=-0,559461$

To už nechám na tobě.
Pro kontrolu: - souřadnice druhého bodu dotyku