Matematické Fórum

misa · 04. 01. 2011 17:37

Ahoj, poradil by mi prosím někdo, alespoň jak začít? S takovým typem příkladů jsem se ještě nesetkala... Mám určit součet řady v závislosti na parametru k z N. Děkuju moc za každou radu!

pietro · 04. 01. 2011 20:46

↑ misa: Ahoj !... a možno Ťa naviguje...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su … *k*n%29%29

misa · 04. 01. 2011 20:56

↑ pietro: Omlouvám se, ale wolfram pro mě není moc srozumitelný:-(

Marian · 05. 01. 2011 11:05 — Editoval Marian (05. 01. 2011 16:29)

↑ misa: Řešil bych to takto. Platí totiž

Poslední zlomek rozložíme na parciální zlomky vzhledem k proměnné $n$ . Bude (za předpokladu, že $k\neq 0$ )

Nyní se najde tvar parciálních součtů nekonečné řady. Tyto parciální součty budou závislé na parametru $k$ , který (jak je vidět ze zadání) je nutně nezáporné celé číslo. Pomocí teleskopické metody se najde

$\sum_{n=1}^{N}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right )=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{N+n}$

a

$\sum_{n=1}^{N}\left (\frac{1}{n+k}-\frac{1}{n+2k}\right )=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n+k}-\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{N+k+1}.$

Odtud a z definice nekonečné řady dostáváme

Tady jsou celkem dvě možnosti, jak daný výsledek lépe zapsat. Tou první je sloučení konečných sum a úprava. Potom bychom snadno dostali výsledek ve tvaru

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3-k^2n}=\frac{1}{2k}\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+k)},\qquad\qquad k\in\mathbb{N}.$

V případě, že víme, co jsou to harmonická čísla $H_k$ , tj.

$H_k:=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n},\qquad k\in\mathbb{N},$

se dá výsledek zapsat v elegantním tvaru

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3-k^2n}=\frac{1}{2k^2} (H_k-(H_{2k}-H_k))=\frac{1}{2k^2}\cdot (2H_k-H_{2k}),\qquad\qquad k\in\mathbb{N}.$

Zbývá případ $k=0$ . Bude-li platit $k=0$ , dosadíme tuto hodnotu do zadané nekonečné řady; bude

$\left.\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{1}{n^3-k^2n}\right |_{{\small k=0}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\zeta (3),$

což je tzv. Apéryho konstanta (z matematického hlediska velmi atraktivní).

Celkem tedy naše úvahy můžeme shrnout do konečného výsledku:

misa · 05. 01. 2011 15:04

↑ Marian: :-O strašně moc ti děkuju, jdu to hned prostudovat a snad se chytnu. Opravdu moc děkuji za ochotu!

misa · 05. 01. 2011 16:55

↑ Marian: Tak snad jsem se prokousala...jen nevím, neměl by být v tom výsledku
v čitateli konstanta k? Možná nedělám správně sloučení sum, ale raději se ptám..děkuju moc!

Marian · 05. 01. 2011 18:25

↑ misa:

$\frac{1}{2k^2}\sum\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right )=\frac{1}{2k^2}\sum\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{2k}\sum\frac{1}{n(n+k)}.$

Je to to, na co se ptáš, nebo není jasný některý jiný krok? Doufám, že nemám chybu u sebe. Ale kontroloval jsem to celé a vychází mi to.

pietro · 05. 01. 2011 20:53

↑ Marian:Ďakujem pekne aj ja za detailný výpočet, krásne pozdravujem a všetko najlepšie prajem v novom roku !

misa · 06. 01. 2011 19:15

↑ Marian: Je, tak teď už je mi to jasné, já tam nechávala k na druhou :-) ještě jednou moc děkuju!

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2011 17:37

součet řady v závislosti na parametru

#2 04. 01. 2011 20:46

Re: součet řady v závislosti na parametru

#3 04. 01. 2011 20:56

Re: součet řady v závislosti na parametru

#4 05. 01. 2011 11:05 — Editoval Marian (05. 01. 2011 16:29)

Re: součet řady v závislosti na parametru

#5 05. 01. 2011 15:04

Re: součet řady v závislosti na parametru

#6 05. 01. 2011 16:55

Re: součet řady v závislosti na parametru

#7 05. 01. 2011 18:25

Re: součet řady v závislosti na parametru

#8 05. 01. 2011 20:53

Re: součet řady v závislosti na parametru

#9 06. 01. 2011 19:15

Re: součet řady v závislosti na parametru

Zápatí