Matematické Fórum

Ondra111 · 05. 01. 2011 17:16

Po silnici jede povoz s dlouhým kmenem. Jede konstantní rychlostí. Podél kmenu jde člověk svojí konstantní rychlostí. Jde li od konce na začátek ujde 112 kroků. Jde li od začátku na konec ujde 16 kroků. Jak je kmen dlouhý. Měřeno v krocích. Děkuju za radu

Ondra111 · 05. 01. 2011 17:20

Dva povozy vyjely současně ze 2 míst od sebe vzdálených 3 km. Jedou li proti sobě setkají se po 15 minutách. Jedou li za sebou dohoní se po 1 hodině. Jaká je rychlost povozů? Děkuju za radu.

zdenek1 · 05. 01. 2011 17:38

↑ Ondra111:
Při cestě od konce na začátek musí člověk ujít délku kmene a ještě kousek o který mu ten kmen poodjíždí.
$112=s+ut_1$ , kde s je délka kmene, u rychlost vozu a t1 potřebná doba.
při cestě od začátku na konec jede ten konec člověku naproti a proto nepůjde celou délu, ale o něco méně
$16=s -ut_2$

trik je v tom, že na ujití 112 kroků potřebuje člověk 7 krát víc času než na ujití 16 kroků, proto $t_1=7t_2$
dostaneš soustavu dvou rovnic

označíš si $ut_2=y$ a vyřešíš

zdenek1 · 05. 01. 2011 17:39

↑ zdenek1:
Zakládej si na každý příklad jedno téma.

Cheop · 05. 01. 2011 18:54 — Editoval Cheop (05. 01. 2011 18:54)

↑ Ondra111:
Př. 2)
Při cestě proti sobě ujdou oba dohromady vzdálenost míst a jdou 1/4 hodiny
1)
$\frac{v_1+v_2}{4}=3\nlv_1+v_2=12$
Při cestě za sebou je rozdíl ve vzdálenostech, vzdálenost míst a jdou to hodinu
2)
$(v_1-v_2)\cdot 1=3\nlv_1-v_2=3$
Máš dvě rovnice o dvou neznámých
$v_1+v_2=12\nlv_1-v_2=3$ - to už dopočítáš

Ondra111 · 06. 01. 2011 16:22

Říká se chytrému napověz, blbého kopni. Já jsem ten druhý případ. Dovedu si to živě představit, jen dosazení a vyřešení mi dělá trošku problém. tak jestli se nepletu ve druhém příkladu prvním vzorečkem v1+v2=12 spočítám rychlost obou dohromady t.j. 12. druhý vzoreček v1-v2=3 nevím co tím spočítám? ani jak se dopočítám výsledku. S tím prvním příkladem jsem vedle úplně. Děkuji za pomoc zkuste to se mnou ještě jednou.

Cheop · 06. 01. 2011 17:54 — Editoval Cheop (10. 01. 2011 09:21)

↑ Ondra111:
V tom druhém příkladu stačí ty 2 rovnice sečíst a vypočítat v_1
Pak výsledek dosadit do jedné z rovnic a dopočtat v_2

K tomu prvnímu příkladu:
1) Oba tj. povoz a chodec jdou jedním směrem:
Aby chodec přešel z jednoho konce klády na druhý musí ujít délku klády a ještě kousek,
protože i povoz s kládou se pohybuje a než přejde z jednoho konce klády na druhý
kláda také trochu popojede. - na tento případ potřebuje 112 kroků
Pokud označím délku klády - d a ten kousek, o který se pohne kláda jako x
potom lze sestavit rovnici:
$d+x=112$ - je délka klády + ten kousek (celková dráha je 112 kroků)
2) Chodec a kláda jdou proti sobě - opačným směrem.
V tomto případě nepotřebuje chodec "přejít" celou délku klády(d), ale o něco méně, protože mu jde kláda "naproti".
Tady potřebuje chodec jen 16 kroků.
Protože v prvním případě potřebuje chodec 112 kroků a ve druhém jenom 16 potom v tom samém poměru
tj. v poměru 16/112 = 1/7 se v tomto případě pohne i kláda tj. kláda se pohne o x/7 kroků.
Tedy rovnice bude:
$d-\frac x7=16$ - délka klády mínus ten kousek co mu šla kláda naproti. (na to potřebuje 16 kroků)
Máme rovnice:
1)
$d+x=112$
2)
$d-\frac x7=16\nl7d-x=112$
Pro výpočet stačí opět ty dvě rovnice sečíst tedy:
$d+x=112\nl7d-x=112\nl8d=224\nld=28$
A máme určenou hodnotu d - délku klády
Odpověď:
Délka klády je 28 kroků
PS: Jinak řečeno:
Délka klády je harmonickým průměrem kroků "tam" a "zpět". ( při předpokladu, že rychlost zůstává pro oba směry stejná)
Pokud označím počet ujitých kroků při cestě "po směru" jako x a počet kroků "proti směru" jako y pak délka klády bude:
$d=\frac{2\,x\,y}{x+y}$ = harmonický průměr.
Pro náš případ:
$d=\frac{2\cdot 112\cdot 16}{112+16}=\frac{3584}{128}=28$

Phate · 06. 01. 2011 17:59 — Editoval Phate (06. 01. 2011 17:59)

↑ Ondra111:
2.) Druhá rovnice vznikla z tvrzení, že: "Jedou li za sebou dohoní se po 1 hodině"
Společný čas pro oba vozy byl 1 hodina. Oba vozy dojely do stejného místa, ale jeden startoval na pomyslném nultém kilometru a druhý na pomyslném třetím kilometru. To, co vyjadřuje následující rovnice je, že rozdíl drah, které vozy ujeli jsou 3 kilometry.
$v_1*1-v_2*1=3$

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2011 17:16

rychlost dráha čas

#2 05. 01. 2011 17:20

Re: rychlost dráha čas

#3 05. 01. 2011 17:38

Re: rychlost dráha čas

#4 05. 01. 2011 17:39

Re: rychlost dráha čas

#5 05. 01. 2011 18:54 — Editoval Cheop (05. 01. 2011 18:54)

Re: rychlost dráha čas

#6 06. 01. 2011 16:22

Re: rychlost dráha čas

#7 06. 01. 2011 17:54 — Editoval Cheop (10. 01. 2011 09:21)

Re: rychlost dráha čas

#8 06. 01. 2011 17:59 — Editoval Phate (06. 01. 2011 17:59)

Re: rychlost dráha čas

Zápatí