#1 06. 01. 2011 18:59
planimetria
Do kružnice k je vpísaný štvoruholník ABCD, ktorého uhlopriečka BD nie je priemerom. Dokážte, že priesečník priamok, ktoré sa kružnice k dotýkajú v bodoch B a D, leží na priamke AC práve vtedy, keď platí |AB|*|CD|=|AD|*|BC|
Tak toto neviem ako vyriesit. Pomozete mi?
Offline
#5 06. 01. 2011 22:15
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: planimetria
Mám nápad, ale nevím, zda k něčemu povede: začneme Ptolemaiovou větou: AB * CD + BC * AD = AC * BD. Pokud to srovnáme s dokazovaným tvrzením, vypadne nám vztah AB * CD = 1/2 * AC * BD, což lze upravit na (AC/2) / AD = BC / BD. Pokud rozpůlíte bodem E úsečku AC, lze to ještě přepsat na více sexy tvar AE / AD = BC / BD, což by mohlo znamenat podobnost trojúhelníků AED a BCD. Skutečně zde podobnost je, byť jsem to ověřil pouze experimentálně v programu Geonext. Ještě jsem dokázal shodnost jedné dvojice úhlů CBD a CAD pomocí věty o shodnosti obvodových úhlů. Navíc lze vidět (i když to neumím dokázat), že tyhle trojúhelníky jsou spirálně podobné, přičemž centrální bod tohoto zobrazení je bod D. Kdyby někdo dokázal ještě shodnost jedné dvojice vn. úhlů těchto trojúhelníků, jeden směr implikace by byl dokázaný. A ta informace by se dala vzít z faktu, že body B, D, P (to je ten náš průsečík tečen) leží na přímce, což jsem zatím jakoby vůbec nepoužil.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#7 07. 01. 2011 21:26
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: planimetria
Nemůžu to nějak dokázat. Zjistil jsem dále ještě toto, ale nijak mi to nepomohlo: úhly EDA a CAB by měly být shodné, takže přímka AB by měla být tečnou ke kružnici opsané trojúhelníku ADE (věta o úsekových úhlech). Když se nakreslí tečna ke kružnici opsané čtyřúhelníku ABCD v bodě B, tak se tato tečna zobrazí podle spirální podobnosti se středem v bodě D na přímku AB, což je tečna ke kružnici opsané trojújhelníku ADE. Je tam jasně daný úhel pootočení ADB. Zkoušel jsem to všemožně nějak dokázat, ale nic. Navíc jsem si to zkusil nakreslit nezávisle na faktu, že body B, D, leží na přímce a úvaha vypadala úpllně stejně, takže se zdá, že se motám v kruhu a neumím využít zmíněných speciálních vlastností, že B, D, P jsou kolineární. Nemáš nějaký svůj vlastní nápad?
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline