Matematické Fórum

stans · 07. 01. 2011 00:25

(n-1)
L = --------- to cele na N
+8 (n+2)

dokážete mi vysětlit jak se počítá tenhle druh limy, díky

Lukee · 07. 01. 2011 00:35

Myslíš tohle?

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n-1}{n+2}\right)^n$

Marian · 07. 01. 2011 09:58 — Editoval Marian (07. 01. 2011 09:59)

↑ stans:

Pokud se jedná o zápis uvedený ↑ zde (Lukee):, zapíšeme zlomek v okrouhlých závorkách jako výraz 1+"něco", kde "něco" jde k nule (to je možné, neboť tento zlomek je limitně roven jedné).

Je ovšem

$\frac{n-1}{n +2} = \frac{(n+2)-3}{n+2}=\frac{n + 2}{n + 2}+\frac{-3}{n + 2}=1++\frac{-3}{n + 2}.$

Nyní se použije limitní formule

$\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{k}{g(n)}\right )^{g(n)}=\mathrm{e}^k \qquad\qquad\text{pro}\qquad g(n)\to\infty .$

Ovšem, položíme-li $g(n):=n+2$ , je jistě $g(n)\to\infty$ pro $n\to\infty$ . Tedy předchozí formuli lze použít (splňujeme její předpoklady). Evidentně volíme dále $k=-3$ . Je zapotřebí přizpůsobit ještě exponent, který by měl souhlasit se jmenovatelem zlomku. Máme ovšem $a^{r+s}=a^r\cdot a^s$ (pro vhodná $a,r,s$ ). Odtud pro $a=1+{\small \frac{-3}{n+2}}$ $r=n+2$ a $s=-2$ je

$\lim_{n\to\infty}\left (\frac{n-1}{n+2}\right )^n=\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{-3}{n+2}\right )^{n+2}\cdot\left (1+\frac{-3}{n+2}\right )^{-2}.$

Podle formule výše existuje limita

$\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{-3}{n+2}\right )^{n+2}$

a rovná se $\mathrm{e}^{-3}$ . Existuje ale také limita

$\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{-3}{n+2}\right )^{-2}=(1+0)^{-2}=1.$

Podle algebry limit (vlastnost o limitě součinu členů posloupnosti) dostáváme konečně výsledek

$\lim_{n\to\infty}\left (\frac{n-1}{n+2}\right )^n=\mathrm{e}^{-3}\cdot 1=\mathrm{e}^{-3}.$

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2011 00:25

limita

#2 07. 01. 2011 00:35

Re: limita

#3 07. 01. 2011 09:58 — Editoval Marian (07. 01. 2011 09:59)

Re: limita

Zápatí