Matematické Fórum

BakyX · 07. 01. 2011 12:25 — Editoval BakyX (07. 01. 2011 16:56)

Dobrý deň..Potreboval by som radu, ako vyriešiť túto úlohy:

Dokáž, že pre uhly ľubovoľného trojuholníka platí táto nerovnosť. Zisti kedy nastane rovnosť.

$\HUGE \sqrt{\sin \alpha}+\sqrt{\sin \beta}+\sqrt{\sin \gamma}\le3\sqrt[4]{\frac{3}{4}}$

Nemám tušenie, ako to vyriešiť. Maximálne viem, že $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ , dosadenie však nepomôže. Umocnením na druhú dostanem súčet sínusov uhlov, ale neviem, ako to pomôže. Ďakujem za radu

Igor12 · 07. 01. 2011 12:46

ahoj.Neviem či to pomôže ale platí toto
sinα + sinβ + sinγ=4cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2)

Pavel · 07. 01. 2011 15:26

↑ BakyX:

Tvoje nerovnost neplatí:

Stačí volit

$\alpha = \beta=\frac{1}{1000}\,\pi\nl \gamma = \frac {998}{1000}\,\pi.$

Pak totiž

$\sqrt{\sin\alpha}+\sqrt{\sin\beta}+\sqrt{\sin\gamma}\approx 0{,}056+0{,}056+0{,}079=0{,}191,$

kdežto

$\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\approx 0,930.$

BakyX · 07. 01. 2011 16:44

↑ Pavel:

Máš pravdu..A čo teraz ? (EDITED)

BakyX · 07. 01. 2011 16:59

↑ Igor12:

No..Asi nie..Úprimne..Nemám tušenie, ako toto vyriešiť.

Pavel · 07. 01. 2011 17:53 — Editoval Pavel (07. 01. 2011 18:05)

↑ BakyX:

Ať nemateme ostatní, původní nerovnost byla

$\Large \sqrt{\sin\alpha}+\sqrt{\sin\beta}+\sqrt{\sin\gamma}\geq \sqrt[4]{\frac 34}$

a ta, jak bylo ukázáno, neplatí.

Nová nerovnost už platit bude.

Stačí použít tzv. Jensenovu nerovnost.

Lze jednoduše ukázat, že funkce $f(x)=\sqrt{\sin x}$ je konkávní pro $x\in(0,\pi)$ , proto platí

$\Large \sqrt{\sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)}\geq\frac{\sqrt{\sin\alpha}+\sqrt{\sin\beta}+\sqrt{\sin\gamma}}{3}.$

Když uvážíme, že $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ , je výsledek hned jasný.

Nicméně tento příklad nepatří do sekce střední školy.