Matematické Fórum

skalpik · 07. 01. 2011 13:48

Dobrý den, můžu se zeptat na způsob, jak se sečte tato řada?
$\sum _{i=1}^n i^2 2^{-i}$

Stýv · 07. 01. 2011 16:53

vem si fci $f(x)=\sum _{i=1}^n i^2x^i$ , vytkni $x$ , zbytek zintegruj, znovu vytkni $x$ a zbytek zintegruj, dostaneš geometrickou "řadu" (on je to jenom konečnej součet, není li $n=\infty$ ), tu sečti, zderivuj, vrať $x$ , zderivuj podruhé a zase vrať $x$ . pak dosaď $x=\frac12$

skalpik · 07. 01. 2011 19:36

díky. A existuje postup a bez pomoci kalkulu? protože tenhle příklad dostal kámoš na diskrétní matematice:-)

FailED · 07. 01. 2011 22:43 — Editoval FailED (07. 01. 2011 22:57)

↑ skalpik:

Bez kalkulu třeba takhle:
$(a-1)\cdot\sum_{i=1}^ni^2a^i=\sum_{i=1}^ni^2a^{i+1}-\sum_{i=1}^ni^2a^i=\sum_{i=2}^{n+1}(i-1)^2a^i-\sum_{i=1}^ni^2a^i=n^2a^{n+1}-\sum_{i=2}^{n}(2i-1)a^i-a$
Součet $\sum ia^i$ podobně.

Jinak nemyslím že použití kalkulu v diskrétce je chyba...

Obecně se součty $\sum P(i)a^i$ dají jednodušeji řešit pomocí tzv. metody neurčitých koeficientů, tomu ale moc nerozumím, můžeš zkusit něco najít.

Pavel · 08. 01. 2011 00:17 — Editoval Pavel (08. 01. 2011 00:17)

↑ skalpik:

Další možnost řešení:

Nechť $S_n:=\sum _{i=1}^n i^2 2^{-i}$ , $n\in\mathbb{N}$ . Pak $S_1=\frac 12$ a

$S_{n+1}-S_n=(n+1)^2\cdot \left(\frac 12\right)^{n+1}$ .,

což je lineární diferenční rovnice 1. řádu s nehomogenní pravou stranou a počáteční podmínkou. To se dá nějak rozumně vyřešit.

skalpik · 09. 01. 2011 16:11

Jojo díky.
Samozřejmě to není chyba použít analýzu na součty řad, jen jsem předpokládal (protože se mě na ten příklad zeptal kamarád), že po nich budou na diskrétní matematice chtít postupy, který nevyužívají součty řad.
Já jsem mu právě poradil předpokládat řešení ve tvaru $2^{-n}(a n^2 + b n + c) + d$ a najít koeficienty a indukcí dokázat, že to tak platí. Ale to se mi nezdálo jako nějakej super způsob. Sám se diskrétku skoro neměl, tak jsem předpokládal, že tam nějaký takový postupy budou;-)

Děkuju za odpovědi

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2011 13:48

Součet řady

#2 07. 01. 2011 16:53

Re: Součet řady

#3 07. 01. 2011 19:36

Re: Součet řady

#4 07. 01. 2011 22:43 — Editoval FailED (07. 01. 2011 22:57)

Re: Součet řady

#5 08. 01. 2011 00:17 — Editoval Pavel (08. 01. 2011 00:17)

Re: Součet řady

#6 09. 01. 2011 16:11

Re: Součet řady

Zápatí