Matematické Fórum

Tak čo vie mi niekto odpovedať? Lebo som si všimol, že takato práca odzadu je častokrát jednoduchšia.

↑ Pavel:
no ja som to myslel skôr všeobecne... Ale dajme tomu, že niečo take  Dany je ostrouhly trojuholnık ABC a vnutri neho bod C1.Bod B1 je taky, ze trojuholníky ABC a AB1C1 su podobne. Nech P je priesecník priamok BB1 a CC1. Dokazte, ze body A, B, C, P lezia na kruznici.
No a  teraz by som postupoval tak, že by som uvážil že tie body ležia na kružnici a ukázal,že P je priesečník priamok. (aj ked sa mi to nezdá ale ževraj to je správne)

↑ Pavel:
ja som si to hned myslel ale prečo je pri tejto ulohe uvedené toto riešenie:
Trojuholnıky ABC a AB1C1 su v istom zmysle zamenitel’ne: niet dovod preferovat’ niektory z nich. Preto
ak A, B, C, P lezia na kruznici, tak aj A, B1, C1, P lezia na kruznici a naopak. Bod P by mal byt’ teda
priesecníkom kruznıc opısanych trojuholnıkom ABC a AB1C1. Pri predoslej ulohe bolo jednoduchsie
mať pri rataní uhlov kruznice a dokazovat nieco o priamkach (porovnaj 1., 2. a 3.), vyskusame to aj teraz.
Nech P je priesecník kruznıc opísanych trojuholníkom ABC a AB1C1; dokazeme, ze bodom P precha´dza
priamka BB1 (zo symetrie je jasne, ze potom ním prechadza aj priamka CC1). Uhol APB ma vel’kost’
180 − | ACB|, uhol APB1 ma vel’kost’ ako uhol AC1B1 a teda taku ako uhol ACB. Dokopy mame, ze
uhol BPB1 je priamy.
Metodu prace odzadu (vyuzitu pri predoslej ulohe) si mozete vyskusat’ na nasledujucej:

↑ Alan122:

Rozdíl v obou úvahách je ten, že ty jsi předpokládal, že bod P leží někde na kružnici opsané trojúhelníku ABC. Nic bližšího jsme o něm nevěděli. Autoři ale bod P přesně specifikují, je to průsečík kružnic opsaných trojúhelníkům ABC a AB1C1, což je něco jiného. Tato skutečnost nebyla známá. Autoři můžou důkaz otočit, protože platí silnější tvrzení než to, které bylo uvedeno v původním zadání:

Bod P je průsečíkem přímek BB1 a CC1        bod P je průsečíkem kružnic opsaných trojúhelníkům ABC a AB1C1

Na pořadí těchto tvrzení stojící na opačných stranách uvedené ekvivalence nezáleží, proto lze dokazovat větu obrácenou. Důkaz začíná předpokladem bod P je průsečíkem kružnic opsaných trojúhelníkům ABC a AB1C1 a řetězcem logicky ekvivalentních úvah se dokáže, že bod P je průsečíkem přímek BB1 a CC1. Poněvadž jsou všechny úvahy spojeny ekvivalencemi, platí i tvrzení původní, tzn. to, které mělo být dokázáno.



Kdybychom chtěli dokázat tvrzení

Bod P je průsečíkem přímek BB1 a CC1        bod P leží na kružnici opsané trojúhelníku ABC

analogicky, tak se nám to nepodaří. Předpoklad  bod P leží na kružnici opsané trojúhelníku ABC je slabý k tomu, abychom dokázali pomocí logicky ekvivalentních úvah tvrzení, že bod P je průsečíkem přímek BB1 a CC1.