Matematické Fórum

Buksy · 09. 01. 2011 14:10

Dobry den, kedy vzdy sa limita rovna e?

cital som na wikipedii ze e je definovane ako

$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$

a v zosite mam jeden priklad vypocitany takto:

$\frac{ \lim_{x\to\infty}{ \[(1+\frac{3}{x})^x\]^2} }{ \lim_{x\to\infty}{ \[(1+\frac{5}{x})^x\]^2} } = \frac{ (e^3)^2 }{ (e^5)^2 }$

a mam v tom zmatok, podla coho mam vediet kedy sa limita rovna e

plati to teda takto?

$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{a}{x})^x = e^a$

teda nech mam hocico v a, vzdy to bude e^a ?

Olin · 09. 01. 2011 14:21

Ano, $\lim_{x\to\infty}$1+\frac{a}{x}$^x = \mathrm{e}^a$ platí pro všechna $a \in \mathbb{R}$ .

halogan · 09. 01. 2011 14:27

$\lim_{x \to \infty} $1 + \frac ax$^x = \mathrm{e}\mathrm{xp}$\lim_{x \to \infty} x \log \(1 + \frac ax$\) \nl = \mathrm{e}\mathrm{xp}$\lim_{x \to \infty} x \frac{\log \(1 + \frac ax$}{\frac ax} \cdot \frac ax\) = \mathrm{e}\mathrm{xp} $1 \cdot \lim_{x \to \infty} a$ = \mathrm{exp}^a$

Ta jednička tam je:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log $1 + \frac ax$}{\frac ax} = 1$ ,

což plyne z limity $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1$ a věty o limitě složené funkce.

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2011 14:10

Limita rovna e

#2 09. 01. 2011 14:21

Re: Limita rovna e

#3 09. 01. 2011 14:27

Re: Limita rovna e

Zápatí