Matematické Fórum

PeterSheldon

mohl by mi někdo ukázat důkaz, proč když zderivuju e^x dostanu opět e^x? jak to souvisí s definicí inverzní funkce?

Maxim K · 10. 01. 2011 15:42

Ahoj.
Pravidlo $(konstanta^x)' = konstanta^x * log (konstanta)$

-->
$(e^x)' = e^x * log (e) = e^x * 1$

Ale tusim, ze se ptas asi na hlubsi dukaz. Zkusim se na to kouknout pri trose casu.

PeterSheldon · 10. 01. 2011 15:45

↑ Maxim K:
to že se to dá přepsat jako e na něco vím.. je mi jasné že pokud sjednotím f a f^-1 z (x) tak dosatnu právě to dané x.. vím, že se třeba a^x dá přepsat jako e^(ln a).. Jak se to dá ale ukázat, že tomu skutečně tak je?

FailED · 10. 01. 2011 15:45

↑ PeterSheldon:

Při definici exponenciály se používá limita $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$ po vynásobení $e^x$ dostaneme $\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x$ a to je přesně derivace $e^x$ .

LukasM · 10. 01. 2011 15:53

↑ FailED:
Ahoj. Jestli se můžu zeptat, jak se dá dokázat, že ta limita $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}$ je opravdu jedna?

Maxim K

Navic muzeme psat:
$a^x = exponenciala(log(a^x))$ coz je ekvivalentni, nebot podle definice inverzni fuknce se exponenciala i logaritmus bez problemu "vyrusi"...
Ted ale podle pravidel operaci s logartimem muzeme psat $exponenciala(x * log(a)$ , coz neni nic jineho, nez $exp^(x*loga)$ (ma to byt vse v exponentu)- ocividne neni treba zadneho hlubsiho dukazu, ekvivalence je patrna i podle trivialnich uprav.

P.S.: omlouvam se, ze pisu v texu "exponenciala", ale ten tula automaticky zameni "exp" za "e" s nejakym exponentem, coz je samozrejme ekvivalentni, ale pro nazornost jsem tam chtel nechat samotne "exp".

FailED · 10. 01. 2011 16:03 — Editoval FailED (10. 01. 2011 16:06)

↑ LukasM:

Ahoj,
my jsme limitu použili přímo při definici e^x, bylo to nějak takhle:

Existuje jediná reálná fce exp(x) pro kterou platí:

1) rostoucí na R
2) exp(0)=1
3) exp(x+y)=exp(x)*exp(y)
4) $\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}$

Přednášející se jen zmínila, že ta jednoznačnost se dokazuje nějak pomocí identity $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ .

LukasM · 10. 01. 2011 23:24

↑ FailED:
Ok, díky. Já jsem se totiž chystal napsat sem to samé co ty, ale pak jsem si uvědomil, že tu limitu neumím dokázat jinak než l'Hospitalovým pravidlem, což v tomhle případě nepřipadá v úvahu. Jestli se mi bude chtít, a jestli na to budu mít někdy čas (pravděpodobně nenastane ani jedno), tak si ty definice někdy znova projdu, abych si to trochu ujasnil. Jak se zdá, tak už jsem to pozapoměl (sice tyhle věci člověk používá furt, ale už vím houby co z čeho plyne).

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2011 15:17 — Editoval PeterSheldon (10. 01. 2011 15:18)

derivace

#2 10. 01. 2011 15:42

Re: derivace

#3 10. 01. 2011 15:45

Re: derivace

#4 10. 01. 2011 15:45

Re: derivace

#5 10. 01. 2011 15:53

Re: derivace

#6 10. 01. 2011 15:56 — Editoval Maxim K (10. 01. 2011 15:58)

Re: derivace

#7 10. 01. 2011 16:03 — Editoval FailED (10. 01. 2011 16:06)

Re: derivace

#8 10. 01. 2011 23:24

Re: derivace

Zápatí