Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravim, prosim o pomoc pri reseni prikladu. Mam zadanu funkci f(x)=(a^x + a^-x)/2 a mam algebraicky zjistit jak vypada inverzní fuknkce, sedel jsem nad tím dlouho a porad ne a ne se dobrat vysledku... díky mo za odpoved.
Offline
↑ Rumburak: problemem je ze metodu vím, ale porád mi tento príklad nechce vyjít...
Offline
↑ 007jirka:
Tak sem napiš svůj postup, ať zjistíme, kde je chyba - tak se to naučíš nejlíp.
Já se na forum znovu dostanu až v pondělí, takže pravděpodobně Ti to dříve zkontroluje někdo jiný.
Offline
↑ 007jirka: to se mi nezdá, že by z tohoto doporučení vzniklo t=+/-1 (navíc vážený kolega ↑ Rumburak: bude těžko vědět, co znamená taková substituce).
Ale samozřejmě - záleží jen na Tobě, zda chceš umístit nebo neumístit svůj postup. Problém inverzních funkcí netiží ani mne, ani váženého kolegu, kterého takto srdečně zdravím.
Offline
dle rady jsem si za a^x zavedl substituci t ... z toho dostanu y=1/2 *t *(1+1/t^2) ... vcera mi vyslo zminene t +- 1 , dnes po dalsim pokusu jiz 0 a 1 vim ze je to spatne ale i kdyby ne tak mi neleze do hlavy jak z toho vytriskam x=.... . Kdyz jsem pocital jine priklady tak vse slo v poradku ale jakmile se objevi cokoliv s x v exponentu tak v tom zacnu mit chaos.
Offline
↑ 007jirka:
Shodli jsme se, že jde o to vyřešit rovnici
(1)
v závislosti na parametru , kde . Tedy i funkce je závislá na parametru, a sice na parametru .
Máme tady, po rozepsání, řešit rovnici
závislou na dvou parametrech .
Výhodnější ale bude nejprve se zamyslet nad tím, jak je funkce poskládána, a využít toho. Označíme-li
,
vidíme, že platí , neboli . Máme tedy řešit rovnici . Tvar levé strany nám umožňuje
rozdělit úlohu do dvou jednodušších kroků :
I. Vyřešit rovnici v závislosti na parametru (po úpravě to bude kvadratická rovnice),
II. Vyřešit (exponenciální) rovnici v závislosti na , kde je řešení rovnice z kroku I.
Tato úvaha je nespíše podstatou té substituce, kterou navrhli kamarádi.
PS. S radostí opětuji pozdrav milé a vážené kolegyni Jeleně .
Offline
↑ 007jirka:
myslím, že žádná vlastnost logaritmů neumožňuje rozepsat ani ten "první logaritmus", natož ten "poslední".
Bude lepší, když ponechaš x=log(.....)
↑ Rumburak: děkuji za podrobný a přehledný výklad a za pozdrav, také opětuji :-)
Offline
↑ 007jirka: smekám před podrobným a přehledným výkladem kolegy ↑ Rumburaka:,
teď si ovšem nevzpomínám, zda jsme hovořili o podmínce, že funkce f(x) měla být prostá - pro nalezení inverzní funkce musíme ještě určit interval, na kterém je prostá. A také diskusi parametru jsme neprovedli.
A už nevím, na ce jsme se ještě neohledli :-) Spolehám na váženého kolegu, děkuji.
---------------------------
...
Offline
↑ 007jirka: Je potřeba neunáhlit se a postupovat s rozmyslem, rozhodně ne mechanicky. Uvědomme si nejprve základní vlastnosti
uvažovaných funkcí, tím situaci budeme moci zjednodušit pomocí vhodných doplňujících předpokladů.
Máme-li za funkci považovat reálnou funkci, jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, musíme předpokládat .
Funkce pak nabývá pouze kladných hodnot . Dále: je-li , potom i .
Takže rovněž funkce nabývá pouze kladných hodnot. Zároveň připojme předpoklad , tím vyloučíme případ, kdy funkce a
tedy i jsou konstantní - pak by totiž inversní funkce zcela jistě neexistovala.
I. V rovnici dle ↑ Rumburak: se tedy můžeme omezit na , aniž bychom tím o něco přišli.
Při tomto předpokladu kvadratická rovnice vzniklá úpravou rovnice má nezáporný diskriminant
(a tedy reálné kořeny) právě když . Ony reálné kořeny zmíněné rovnice pak budou .
Tímto máme vyřešen krok I, za z kroku II pak bereme postupně čísla .
Nyní proveďme krok II. Tento krok se opět rozpadne na dva případy podle volby :
1) .
Rovnice má v tomto případě tvar (na pravé straně je kladné číslo) a tedy jediné řešení
.
2) .
Rovnice má v tomto případě tvar (na pravé straně je opět kladné číslo) a tedy jediné řešení
.
Pro je . Pro se kořeny liší , splňují však vztahy (neboť )
a dále v případě resp. v případě .
Za předpokladů , jsme tedy ukázali:
Rovnice je řešitelná pouze pro , tedy oborem hodnot fce je interval .
Řešení však je jednoznačně určeno pouze v případě , v případě existují řešení dvě, z nichž jedno je kladné a druhé záporné.
Funkce proto NENÍ prostá v a tedy NEMÁ inversní funkci.
Avšak označíme-li zúžení funkce na interval , potom funkce už prostá je a k ní inversní je buďto
, v případě nebo
, v případě .
Obdobně pro funkci , která je zúžením funkce na interval - inversní funkcí k ní je buďto
, v případě nebo
, v případě ,
tedy opačně než u funkce .
EDIT: Určitého technického zjednodušení bychom mohli dosáhnout vyjádřením , kde .
Offline
↑ Rumburak: dekuji mnohokrat, lepsi vysvetleni jsem nemohl dostat... toto mi vzdy delalo problemy, musim to vzit pomalu krok po kroku... jsem dluznikem...
Offline