Matematické Fórum

ad a) ve Vasem priklade je kazda trida ekvivalence jenom jednoprvkova, bohuzel ....

EDIT: Treba: dva prvky jsou ekvivalentni pokud jsou mocninou stejneho prvocisla nebo ani jeden neni mocninou zadneho prvocisla.

↑ misa:
musim najit aspon tri lidi kteri maji jinou hmotnost a maji auto...

↑ misa:
Jak presne by byla v tomto pripade definovana ta relace mezi dvema automobily?

↑ misa: 

Vlastnost vozu  "majitel vozu bydlí v rodinném domě" vymezuje v množině A všech automobilů podmnožinu D , o níž lze usoudit, že je
neprázdná a různá od A. Množiny  D,  A - D  tedy tvoří rozklad množiny A , existuje tudíž právě jedna ekvivalence E  na množině A taková,
že jejími rozkladovými třídami jsou právě   D,  A - D  .  Rozkladové třídy jsou tedy pouze 2,  avšak měly být nejméně 3.

Ekvivelenci na množině A můžeme sestrojit takto:

1) Vezmeme množinu B, na níž je dána relace R, o které víme, že je ekvivelencí.
2) Sestrojíme zobrazení f množniny A do množiny B.
3) Pro x, y patřící do A definujeme  x E y  právě když  f(x) R f(y) .

Sndno nahlédneme, že E je ekvivalence na množině A .
V případě, že f je surjektvní (neboli "na B") , potom ekvivalence R, E mají stejný "počet" rozkladových tříd
(přesněji řečeno: systémy rozkladových tříd ekvivalenci R, E pak mají stejnou mohutnost).

Na tomto principu byla postavena i ekvivalence, kterou zavedl kolega ↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov: .
Roli množiny B zde hrála množina majitelů aut,  ekvivalencí R byla relace, že dva majitelé mají stejnou  hmotnost (měřenou
dohodnutým způsobem).

EDIT . K tomu řešení

" - můžu vzít například relaci "je rovno" ? splňuje reflexivitu (pro všechna x z N platí x=x), splňuje symetrii (pro všechna x,y z N platí x=y pak y=x) a splňuje tranzitivitu (pro všechna x,y,z z N platí x=y a zároveň y=z pak x=z)
je to tak? Jen si nevím rady s tím rozkladem na nekonečně mnoho tříd ekvivalence"

Která př. čísla leží ve třídě obsahující číslo 5  ?  Přece každé takové, které "je rovno" 5 , tedy právě 5. 
Každé př. číslo je ve "své" rozkladové třídě (podle ekviveaene  "je rovno") samo, počet těchto rozkladových tříd je proto nekonečný.

↑ Rumburak: Ká jsem se ještě zpětně opravovala, mohlo by to být takto?
Dva automobily jsou ekvivalentní pokud jejich majitelé bydlí ve stejném typu ubytování. (rodinné domy, paneláky, ubytovny...)

↑ Rumburak: Moc děkuju, tak třídy rozkladu už mi jsou jasnější.

Teď už jen zbývá ta poslední relace na množině všech do dnešního dne vyrobených osobních automobilů, která má být tranzitivní, symetrická a antireflexivní. Nikde jsem nenašla ani žádnou jinou relaci s takovými (všemi současně) vlastnostmi...

↑ Rumburak: strašně moc děkuju za vysvětlení!!! Vám oběma, velké díky!

↑ misa:
Tázaný kolega momentálně není přítomen, tak v zájmu urychlení se pokusím odpovědět já.

1)  Ta relace   "x R y  právě když x má stejný počet cifer jako y" (asi míněno v dekadickém zápise) je ekvivalence.

2) Je-li dáno přirozené číslo  m > 1 (aby to nebylo zcela triviální),  pak relace "x R y  právě když x - y je dělitelné číslem m"
je ekvivalence na množině celých čísel a tady i na množině přirozených čísel.

EDIT.  Viz zbytkové třídy modulo m.  Pro m = 2  dostaneme Tvůj příklad , závěry o něm jsou správné.

3)  Je známo, že existuje vzájemně jednoznačné zobrazení f  množiny N všech přiroz. čísel na množinu N x N (kartéský součin množin)
a není těžké nějaké takové sestrojit.  Položme f(x)  = [g(x), h(x)] , tím jsou jednoznačně určena zobrazení g, h  množiny N do N.

Definujme " x E y  právě když   g(x) = g(y)" .  Jde o ekvivalenci,  mající nekonečný počet rozkladových tříd, z nichž každá má
nekonečně mnoho prvků.

↑ misa:
Ano, chápeš to dobře.

Hodnoty f(x)  pro x = 1, 2, 3, ...  by mohly postupně být např.

(1,1),
(1,2), (2,1),
(1,3), (2,2), (3,1),
(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), 
....

atd.  tak, abychom vyplnili celé NxN .