Matematické Fórum

andreat · 10. 01. 2011 20:49

Dobrý večer, pomôže mi prosím niekto s týmto: vôbec som nenašla spôsob ako to počítať:::::
Nájdi súčet postupnosti funkcie: $\{{\frac{x^{2n}}{(1+x^2)^{n-1}}\}_{n=0}^{\infty}$
Ďakujem za každú pomoc.

lukaszh · 10. 01. 2011 22:28

↑ andreat:

Upraviť na geometrický rad.

$\{{\frac{x^{2n}}{(1+x^2)^{n-1}}\}_{n=0}^{\infty}=\cdots$

Marian · 11. 01. 2011 11:16 — Editoval Marian (11. 01. 2011 11:16)

Nelze sčítat posloupnost (pokud to nezadefinujeme). Patrně máte (oba) na mysli součet členů funkcionální posloupnosti dané n-tým členem. V tomto případě lze akceptovat poznámku kolegy lukaszhe, neboť lze psát

$\frac{x^{2n}}{(1+x^2)^{n-1}}=(1+x^2)\cdot\left (\frac{x^2}{(1+x^2)}\right )^n.$

Nyní se použije vyorec pro součet nekonečné geometrické řady (pozor na podmínku konvergence).

andreat · 11. 01. 2011 17:29

↑ Marian:
Presne tak som to upravila. použila som vzorec $\frac{1}{1-q}$ . Vyšlo mi, keďže za q som zobrala celý ten zlomok $\frac{x^2}{1+x^2}$ súčet = 1 + x^2. Ale ďalej? Kebyže človek vidí aspoň jeden typ príkladu vypočítaný, tak by sa možno pohol ďalej, ale takto, ... Vypočítať súčet - to nie je problém, ale tieto funkcionálne rady. A podmienka konvergencie. Tak tých definícií a viet tu mám niekoľko: ide o definičný obor? Alebo o existenciu čísla $v_n$ , pre ktoré platí: |f_n(x)| má byť rovné alebo menšie ako v_n.

Marian · 11. 01. 2011 18:16

↑ andreat:

Aby bylo možné použít vzorec pro součet geometrické řady, musí být kvocient $q$ v absolutní hodnotě menší než jedna. Stačí tedy ověřit, pro která $x\in\mathbb{R}$ platí nerovnost

$\frac{x^2}{x^2+1}<1.$

Vzhledem k tomu, že se jedná o podíl dvou kladných čísel, je situace mimořádně snadná, neboť je vidět, že jmenovatel je vždy větší než čitatel (dokonce přesně o jednotku). To ovšem znamená, že tato nerovnost platí pro všechna reálná čísla $x$ .