Matematické Fórum

Zdravím,

potřeboval bych pomoci vyřešit následující příklad a prosím i o vysvětlení. :-)
Tento příklad jsem našel nevyřešen v tomto tématu a docela mě zaujal, tak jsem si řekl, že ho zkusím vyřešit, protože jsem pravděpodobnost právě probíral na střední škole. No, asi moje středoškolské znalosti na to nestačily a nebo jen nemám nápad, jak to vyřešit. :-)

Příklad:
V 11:00 začíná turnaj v ”kamen-nůžky-papír”, kterého se účastní 64 hráčů. Od začátku až do
konce se hraje vyřazovací pavouk (dvouhry) s cílem určit vítěze turnaje (tedy o 3. místo apod.
se nehraje). Pravidla jednoho zápasu jsou standardní, hráči volí ”symboly” zcela náhodně
v poměru 1:1:1. Pokud po 3 kolech jednoho zapasu nikdo nezvítězí (nastanou 3 remízy),
rozhodne o vítězi zapasu los. K dispozici je jen jeden ”kurt”, kde mohou zápasy probíhat
a v jednu chvíli tedy probíhá vždy jen jeden zapas. Doba potřebná na jedno kolo jednoho
zapasu je vždy 5 minut (povzbuzovaní diváku, porada rozhodčích...), ostatní úkony (losovaní,
výměna hráčů na kurtu apod.) jsou časově zanedbatelné. S jakou přibližně pravděpodobností
se stihne cely turnaj odehrát do půlnoci?


Jak jsem tedy postupoval:

Hráči hrají kamen-nůžky-papír, tz. že jedno kolo může skončit 9 možnostmi:
K-K, K-P, K-N, N-N, N-P, N-K, P-P, P-K, P-N => 3 remízy

Víme tedy, že šance na remízu je 1/3.
To znamená, že šance na výhru jednoho z hráčů v prvním kole je 2/3.
To znamená, že máme šanci 2/3, že zápas skončí v prvním kole, tedy bude trvat 5 minut.
Pokud se tak nestane a nastane remíza, tedy 1/3, pak jdeme do dalšího kola, kde začínáme od začátku a máme zase šanci 2/3 na konec hry a nebo 1/3 na další remízu.
Pokud ve druhém kole hra skončí, tak hra trvala 10 minut a vynásobí se nám pravděpodobnost remízy a výhry, tedy 1/3*2/3, což je 2/9.
Pokud ale nastane remíza i v druhém kole, tak jdeme do třetího. Víme, že třetí kolo bude trvat dalších 5 minut a už je jedno, jestli bude remíza nebo ne, protože losování je časově zanedbatelné, takže šance na 3 kolo, tedy že hra bude trvat 15 minut celkem, je 1/3*1/3, tedy 1/9.

Máme tedy při jedné hře šanci 2/3, že bude trvat 5 minut, 2/9, že bude trvat 10 minut a 1/9, že bude trvat 15 minut.

Víme, že her je celkem 63 – systém pavouka s 64 hráči = 32 zápasu + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 (finále).

Takže víme, že hra nesmí trvat víc než 13 hodin (780 minut) a že se bude hrát 63 zápasů, kde každý může trvat 5, 10 nebo 15 minut.





To je všechno, na co jsem přišel. Doufám, že jsem nikde nevyplodil žádnou chybu. :-)
Myslím si, že všechno co jsem tady napsal, včetně těch rovnic, je důležité a musí se to jen do sebe začlenit. Jen nevím jak. :-)