Matematické Fórum

jendaaa

Ahoj, mám následující zadání:

A = ${1 2\choose 3 -1}$ a B = ${1 1\choose -2 3}$

Zjistěte, jestli matice A, B a $B^2$ jsou lineárně nezávislé ve vektorovém prostoru reálných 2x2 matic

Tuším, že to je asi primitivní, ale nevím jak začít.

Stačí posoudit lineární zavislost vektorů v každé matici?
A hrají nějakou roli slova v zadání "ve vektorovém prostoru reálných 2x2 matic"?

Děkuji za každý postřeh!

LukasM · 12. 01. 2011 11:09 — Editoval LukasM (12. 01. 2011 11:09)

↑ jendaaa:
Když chceš napsat matici, je potřeba udělat to takhle:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \nl 3 & -1 \end{pmatrix}$ - klikni si na ten obrázek a TeX kód se ti přepíše dolů do okna Rychlá odpověď. Ty píšeš kombinační číslo.

No, co musí platit podle definice lineární závislosti, aby byly vektory $\vec{A},\vec{B},\vec{C}$ lineárně závislé? Musí jít najít takové koeficienty a,b,c, aby alespoň jeden byl nenulový, a $a\vec{A}+b\vec{B}+c\vec{C}=\vec{0}$ - $\vec{0}$ je nulový vektor daného prostoru. V našem případě jsou ty vektory matice. Což nám nevadí, protože matice násobit číslem umíme, a sčítat taky. Napiš tedy tu rovnici pro ten náš případ.

jendaaa

Fajn takže teď mám:

$x_1$ * $\begin{pmatrix} 1 & 2 \nl 3 & -1 \end{pmatrix}$ + $x_2$ * $\begin{pmatrix} 1 & 1 \nl -2 & 3 \end{pmatrix}$ + $x_3$ * $\begin{pmatrix} -1 & 4 \nl -8 & 7 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 0 & 0 \nl 0 & 0 \end{pmatrix}$

Sem možná úplně blbej, ale můžete mě ještě nakopnout, jak dál?

LukasM · 12. 01. 2011 11:36

↑ jendaaa:
Paráda. Nicméně levou stranu té rovnice určitě umíš upravit tak, aby na ní byla jen jedna matice (jejíž prvky budou obsahovat ty neznámé). A jakmile máme jednu matici 2x2 vlevo, a jednu vpravo, můžeme si tu maticovou rovnici přepsat jako čtyři "obyčejné" rovnice (protože co musí platit, aby se rovnaly dvě matice?). Tím jsme dostali soustavu rovnic pro ty naše neznámé, kterou už umíme vyřešit (nejlépe asi Gaussovou eliminací).

Až to budeš všechno mít, všimni si podobnosti té matice soustavy a původních matic se kterými pracuješ.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2011 11:00 — Editoval jendaaa (12. 01. 2011 11:09)

lineární nezávislost matic

#2 12. 01. 2011 11:09 — Editoval LukasM (12. 01. 2011 11:09)

Re: lineární nezávislost matic

#3 12. 01. 2011 11:29 — Editoval jendaaa (12. 01. 2011 11:30)

Re: lineární nezávislost matic

#4 12. 01. 2011 11:36

Re: lineární nezávislost matic

Zápatí