Matematické Fórum

dasha · 10. 01. 2011 04:50

Prosím o pomoc s řešením příkladu: Určete kartézský součin N x N, kde N jsou přir. čísla {0,1,2,....} a rozhodněte, zda relace definovaná následovně: pro všechna a,b náleží N : aRb <---> existuje k náleží N : b=a+k je relací uspořádání na N. Moc si s tím nevím rady. Kart. součin by vypadal {0,1},{0,2},{0,3}.... atd?? Děkuji za pomoc

petrkovar · 10. 01. 2011 22:26

↑ dasha:kartézský součin vypadá OK, snad bych jej jen jinak zapsal. (výčet prvků nekonečné množiny mi nepřijde nejšťastnější).
U relace doporučuji zaměřit se na antisymetrii. Jak to s ní vypadá?

dasha · 11. 01. 2011 02:22

↑ petrkovar: je možno zapsat kartézský součin jako absolutní hodnota N x absolutní hodnota N : I N I x I N I nějak takto ?? Někde jsem to viděla, že se to takto zapisuje . Vlastnosti relace - relexivní, antisymetrická, transitivní , znám, jenže nevím, ž čeho vycházet. {1,2},{1,3}... toto je třeba výčet prvků kart. součinu, tedy {a,b} ? , pak ale podle dané rovnice bude a vždy větší než b , ale jestli se pohybuji v nekonečné množině N pak splňuje podmínky relace kromě antisymetrie {3,1}, {1,3},{3,3}, je to tak??

petrkovar · 11. 01. 2011 10:22

↑ dasha:Ne, "absolutní hodnotu" (správně mohutnost) jsem neměl namysli. Spíš popis množiny vlastností: třeba jako uspořádané dvojice (a,b), kde a,b, jsou...

Při určování vlastností relace vycházíme vždy z definice relace. Třeba je uvedená relace reflexivní,? To by muselo existovat takové přirozené číslo $k$ , aby platílo $a=a+k$ . POdobně se ověří i ostatní vlastnosti uspořádání.

dasha · 11. 01. 2011 10:39

hmmm, asi moc nechápu :-( takže moje myšlenka když pominu kartézský součin, ale ověření, zda se jedná o relaci, není správná ?? :-( když si dosadím třeba za k=1 ... chjo a to je ve čtvrtek test :-(

dasha · 11. 01. 2011 10:45

↑ petrkovar: to může být i nula , takže je reflexivní, ale tím pádem splňuje všechny vlastnosti

dasha · 11. 01. 2011 14:12

prosím, prosím, pomozte mi s tím příkjladem, jsem z něj úplně bezradná :-(

petrkovar · 11. 01. 2011 20:45

↑ dasha:Ano reflexivita je tímto ověřená.
Zbývá antisymterie a tranzitivita. Jako zkoušející bych chtěl od studenta vidět nejen, že uvedená relace vlasntnosti "má", ale také, jak to ověří. Tak třeba k té reflexivitě bych chtěl vidět: "Uvedená relace je reflexivní, protože dvojice (a,a) je v relaci, neboť platí a=a+k pro přirozené číslo k=0."

dasha · 12. 01. 2011 08:51

takže se tomu mění vlastnosti podle k, k =1 má zase jiné vlastnosti ??

Pavel · 12. 01. 2011 10:31 — Editoval Pavel (12. 01. 2011 10:32)

↑ petrkovar:

Jenom krátká poznámka na okraj - reflexivita není nutnou podmínkou pro to, aby relace byla uspořádáním v množině. Stačí dokázat antisymetrii a tranzitivitu.

Jinak uvedeným postupem se definuje uspořádání na množině přirozených čísel, budujeme-li množinu přirozených čísel pomocí tzv. Peanových axiomů. Je dále věcí dohody, zda 0 patří do množiny přirozených čísel nebo ne.

dasha · 12. 01. 2011 10:37

↑ Pavel: takto je zadání : Prosím o pomoc s řešením příkladu: Určete kartézský součin N x N, kde N jsou přir. čísla {0,1,2,....} ... takže předpokládám, že 0 tam patří, aspoň teda myslím, ale pokud dosadím za k=0 tak potom není tranzitivní, antisymetrická ano. Tranzitivní aRb a zároveď bRc ----> aRc což al pokud je k=O nenastane, antireflexivní aRb a zároveň bRa ---> a=b ano. Chápu to dobře?? Jsem z toho příkladu :-( ... Děkuji všem za pomoc :-)

Pavel · 12. 01. 2011 12:18

↑ dasha:

1. Určete kartézský součin $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ , kde $\mathbb{N}$ je množina přirozených čísel včetně 0 - $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ je tedy množina všech usp. dvojic, kde první i druhá složka patří do $\mathbb{N}$ , tzn.

$\mathbb{N}\times\mathbb{N}=\{(a,b),\ a,b\in\mathbb N\}.$

2. Dokažme, že relace R definovaná výše je uspořádání v $\mathbb{N}$ .

a) antireflexivita - obecně $(a,b)\in R\ \wedge\ (b,a)\in R\ \Rightarrow\ a=b,\ \forall a,b\in\mathbb{N}$ .

Nechť tedy $(a,b)\in R$ . Pak $\exists k_1\in\mathbb{N}\,:\,b=a+k_1$ . Nechť dále $(b,a)\in R$ . Pak $\exists k_2\in\mathbb{N}\,:\,a=b+k_2$ . Dokažme, že $a=b$ .

$b=a+k_1=b+k_2+k_1\nl 0=k_1+k_2.$

Z této rovnosti už snadno určíš, čemu se $k_1$ a $k_2$ rovnají. Antisymetrie pak odtud plyne okamžitě.

b) tranzitivita - obecně $(a,b)\in R\ \wedge\ (b,c)\in R\ \Rightarrow\ (a,c)\in R,\ \forall a,b,c\in\mathbb{N}$ .

Nechť $(a,b)\in R$ . Pak $\exists k_1\in\mathbb{N}\,:\,b=a+k_1$ . Nechť dále $(b,c)\in R$ . Pak $\exists k_2\in\mathbb{N}\,:\,c=b+k_2$ . Dokažme, že $(a,c)\in R$ .

$c=b+k_2=a+k_1+k_2=a+k_3,\ k_3=k_1+k_2.$

Protože $k_3\in\mathbb{N}$ , pak z předpisu relace R jasně plyne, že $(a,c)\in R$ , a tedy R je tranzitivní.

Tzn. relace R je uspořádání.

Samozřejmě můžeme ukázat více. Relace R je totiž navíc reflexivní. Proto se jedná o tzv. neostré uspořádání.