Matematické Fórum

TTresh · 12. 01. 2011 15:51

Jedn kluk šel z místa A do B tam a zpět. Z A do B 27km/hod z B do A 5 km/hod.
Druhy kluk šel tam i zpět konstatní rychlostí 9 km/hod.
Kdo bude zpět dříve? Můžete prosím odůvodnit? Díky

Cheop · 12. 01. 2011 16:01 — Editoval Cheop (12. 01. 2011 16:09)

↑ TTresh:
Průměrná rychlost prvního kluka je harmonickým průměrem rychlostí tj.
$v_p=\frac{2\,v_1\,v_2}{v_1+v_2}=\frac{2\cdot 27\cdot 5}{27+5}\nlv_p=\frac{270}{32}\dot=8,44\,\rm{km/h}$
Průměrná rychlost druhého kluka
$v=9\,\rm{km/h}$
Protože rychlost druhého je vyšší než prvního bude druhý kluk dříve zpět než kluk první.

PS: mezi námi dost ti kluci fofrovali, hlavně ten první, ale asi se při cestě "tam" dost utahal.

Dana1 · 12. 01. 2011 16:49

Neviem, čo to je harmonický priemer, ale z fyziky:

Priemerná rýchlosť = celková dráha / celkový čas. Celková dráha sa skladá z 2 rovnakých úsekov, napríklad teda 2s, celkový čas nech je t1 + t2,
kde t1 je čas prejdenia 1. úseku a t2 čas prejdenia 2. úseku.

Jeden úsek s = vt, teda s = 27t1 a súčasne s = 5t2. Z rovnosti dráh vyjde 27t1 = 5t2, a teda t2 = (27/5)t1 = 5,4t1.

Dosadením do vzorca pre priemernú rýchlosť, kde celková dráha = 2s = 2*27t1 = 54t1 a celkový čas = t1 + t2 = t1 + 5,4t1 = 6,4t1
dostaneme, že priemerná rýchlosť je (54t1)/(6,4t1) = 8,4375 km/h, čo je aj výsledok hore s harmonickým priemerom

To isté sa dalo urobiť cez t2, t1 je ale jednoduchšie na výpočet.

Btw, chlapík mohol chvátať z A do B na bicykli (trebárs dolu brehom), v B bicykel predať (stratiť, zničiť) a potom kráčať domov do A pešo... :))

Cheop · 12. 01. 2011 16:58

↑ Dana1:
Až na to že v zadání se píše:
Jeden kluk šel z místa A do B tam a zpět. Z A do B 27km/hod z B do A 5 km/hod.
A v češtině šel znamená jíti pěšky.

Dana1 · 12. 01. 2011 17:29

↑ Cheop:
Ale hej, máte pravdu...

TTresh · 12. 01. 2011 17:44

No ono je to tak že Ten první jel z A do B na kole rychlostí 27km/hod a pak šel zpět rychlostí 5 km/hod
Ten druhej šel tam i zpět stejnou rychlosti 9km/hod.
Má to na výsledek nějakej vliv?

Cheop · 12. 01. 2011 18:05

↑ TTresh:
Nemá

regulus · 13. 01. 2011 04:19

Dana1 napsal(a):
Neviem, čo to je harmonický priemer, ale z fyziky:

Dosadením do vzorca pre priemernú rýchlosť, kde celková dráha = 2s = 2*27t1 = 54t1 a celkový čas = t1 + t2 = t1 + 5,4t1 = 6,4t1
dostaneme, že priemerná rýchlosť je (54t1)/(6,4t1) = 8,4375 km/h, čo je aj výsledok hore s harmonickým priemerom

Ono dimenzionalne to nesedi. Ak delis cas casom, tak dostanes bezrozmerne cislo. To, ze Ti vysiel vysledok takymto sposobom je cira nahoda. A vobec nechapem, ako si mohla dostat ten vysledok, ked su dve premenne a mas len jednu rovnicu. Zahada :).

Cheop · 13. 01. 2011 06:53 — Editoval Cheop (13. 01. 2011 08:21)

↑ regulus:
To, že vyšel ↑ Dana1: ten výsledek náhoda není.
Dosaďme:
vzdálenost AB =27 km
Při cestě tam: ujede vzdálenost 27 km za 1 hodinu(27*1=27)
Při cestě zpátky: ujde vzdálenost 27 km za 5,4 hodiny (27/5=5,4)
Dohromady mu to trvá: 1+5,4 = 6,4 hodiny.
Průměrná rychlost: 54/6,4 = 8,44 km/h (2*27/(1+5,4))
Pokud nevěříš, že průměrná rychost vyjde při zadaných rychlostech vždy stejně zkus si vzdálenost dosadit jinou.
PS: A co se týče záhady
Co je na této rovnici záhadného?
$v_p=\frac{54\,t_1}{6,4t_1}\dot=8,44$

Dana1 · 13. 01. 2011 08:18 — Editoval Dana1 (13. 01. 2011 08:26)

↑ regulus:

Keďže dráha tam a dráha späť sú rovnaké, tak aj zápisy pre obe dráhy sa musia rovnať - vyjadrenie s časom t1 (s = 27t1) sa musí rovnať vyjadreniu s časom t2 (návrat = 5t2).

Z rovnice 27t1 = 5t2 vyjde ekvivalentnou úpravou (delenie obidvoch strán rovnice piatimi), že t2 = (27/5)t1. Miesto neznámej t2 môžem písať ten výsledok, teda 5,4t1. Takto sa z dvoch neznámych stane jedna neznáma - tá druhá sa vyjadrí z platného vzťahu a dosadí, kam treba.

Vo vysvetlení je to uvedené.

Pokiaľ ide o dimenzie - ak by sa písali aj jednotky, všetko by bolo OK. Dráha je totiž napríklad 27t1 KILOMETROV (s = v*t) a čas je t1 alebo 5,4t1 HODÍN, po dosadení vyjdú KILOMETRE/HODINY. Ich počet určuje to vypočítané číslo.

That´s, eto vsjo, howgh.

regulus · 17. 01. 2011 02:45

Cheop napsal(a):
Co je na této rovnici záhadného?
$v_p=\frac{54\,t_1}{6,4t_1}\dot=8,44$

Ze rychlost ma dimenziu m/s a ked predelim t1/t2 nema rozmer rychlosti. Ale neviem, ci som zle pisal, ale zahadne mi prislo, ze vyriesila 1 rovnicu o dvoch neznamych...

Dana1 · 17. 01. 2011 08:39 — Editoval Dana1 (17. 01. 2011 08:41)

↑ regulus:

Prečítal sis si vysvetlenie určené Tebe? Všetko je to tam... Nevyzerá to, že by Ťa to ozaj zaujímalo...

regulus · 17. 01. 2011 16:16

↑ :
Aha. Pardon :). Vysledok ma rozmer rychlosti. Len to nebolo jasne z toho zlomku. Keby si to bola napisala vseobecne, tak je to jasne. Moja chyba.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2011 15:51

Z místa A do B

#2 12. 01. 2011 16:01 — Editoval Cheop (12. 01. 2011 16:09)

Re: Z místa A do B

#3 12. 01. 2011 16:49

Re: Z místa A do B

#4 12. 01. 2011 16:58

Re: Z místa A do B

#5 12. 01. 2011 17:29

Re: Z místa A do B

#6 12. 01. 2011 17:44

Re: Z místa A do B

#7 12. 01. 2011 18:05

Re: Z místa A do B

#8 13. 01. 2011 04:19

Re: Z místa A do B

Dana1 napsal(a):

#9 13. 01. 2011 06:53 — Editoval Cheop (13. 01. 2011 08:21)

Re: Z místa A do B

#10 13. 01. 2011 08:18 — Editoval Dana1 (13. 01. 2011 08:26)

Re: Z místa A do B

#11 17. 01. 2011 02:45

Re: Z místa A do B

Cheop napsal(a):

#12 17. 01. 2011 08:39 — Editoval Dana1 (17. 01. 2011 08:41)

Re: Z místa A do B

#13 17. 01. 2011 16:16

Re: Z místa A do B

Zápatí