Matematické Fórum

Nich · 05. 12. 2010 17:09 — Editoval Nich (05. 12. 2010 23:41)

Ahoj, mám problém s pochopením antisymetrické a tranzitivní relace...

antisymetrická $[(x,y)\in R \wedge (y,x) \in R] \Rightarrow x = y$
tranzitivní $[(x,y)\in R \wedge (y,z) \in R] \Rightarrow (x, z) \in R$

X = {1, 2, 3, 4}

Proč je například tato relace antisymetrická i tranzitivní?

R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

A tato není antisymetrická?

R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,3), (3,1), (2,4), (4,2)}

A tato zase není tranzitivní?

R = {(1,1), (2,2), (3,3), (3,4), (1,2), (4, 3)}

Nevím co v těch relacích hledat, ať to zkouším podle toho předpisu jak chci, tak nevidím žádné pravidlo, které funguje zase v té druhé... u reflexivity a symetrie mi to přišlo primitvní, ale tady na to koukám už půl dne a pořád nic :-( (asi mi tam dělá problém ta implikace) Mohl byste mi to někdo prosím krok po kroku vysvětlit?

Olin · 07. 12. 2010 15:18

První relace je antisymetrická, protože pokud jsou dvě různá čísla v relaci, tak už v opačném pořadí v relaci nejsou (tedy např. $(1, 2) \in R$ , ale $(2, 1) \notin R$ ). Tranzitivita opět plyne z definice - prostě vidíme, že třeba $(1, 2) \in R$ a $(2, 4) \in R$ , tak bychom pro tranzitivitu chtěli, aby platilo také $(1, 4) \in R$ , a ono to zrovna platí.

Druhá relace není antisymetrická, protože zároveň je $(1, 3) \in R$ a $(3, 1) \in R$ . Poslední není tranzitivní, protože $(4, 3) \in R$ a $(3, 4) \in R$ , ale $(4, 4) \notin R$ .

kamm · 12. 01. 2011 22:22

Olin napsal(a):
Tranzitivita opět plyne z definice - prostě vidíme, že třeba $(1, 2) \in R$ a $(2, 4) \in R$ , tak bychom pro tranzitivitu chtěli, aby platilo také $(1, 4) \in R$ , a ono to zrovna platí.

?? Jak to ze kdyz mame X = {1,2,3,4} tak pro tranzitivitu staci $(1,2) (2,4) (1,4) ?$

pro splneni podminky tranzitivity staci aby jsme se dostali pres libovolne $x,y,z \in X ?$ Díky

Olin · 12. 01. 2011 22:43

Nechápu dotaz. Nevím, co to znamená, že se přes nějaký prvek množiny dostaneme. To, co jsem uvedl, samozřejmě není postačující podmínka pro tranzitivitu, jde pouze o příklad.

kamm · 13. 01. 2011 14:16

dobre, zkusme to jinak:

mame X = {1,2,3,4}

prosim o priklady relaci R, obsahujicich minimalni pocet prvku (aby bylo jasne, co je vyzadovano pro splneni dane vlastnosti), ktere splnuji:

a] R je tranzitivni (alespon 3 priklady)

b] R je symetricka (alespon 3 priklady)

c] R je antisymetricka (alespon 3 priklady)

d] R je reflexivní - R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

Dekuji!

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2010 17:09 — Editoval Nich (05. 12. 2010 23:41)

Typy relací

#2 07. 12. 2010 15:18

Re: Typy relací

#3 12. 01. 2011 22:22

Re: Typy relací

Olin napsal(a):

#4 12. 01. 2011 22:43

Re: Typy relací

#5 13. 01. 2011 14:16

Re: Typy relací

Zápatí