Matematické Fórum

Riso · 12. 01. 2011 22:48

Zdravím potrebujem trošku detailnejšiu pomoc s výpočtom takýchto integrálov:

potreboval by som hlavne vedieť ako vypočítať jednotlivé koeficienty A B C D (detailnejší postup)
a takisto ako sa postupuje pri výpočte tohoto integrálu...
ďakujem za pomoc

jelena · 13. 01. 2011 10:55

Zdravím,

zkus projit materiály a jiné podobné úlohy, parciálních zlomků je tady více - zkus vyhledat pomoci nové funkce.

Jmenovatel Tvého zlomku - 1. závorka má pouze komplexní kořeny, tedy je to zlomek typu IV z odkazu, druhá závorka má dvojnásobný kořen x=2 (zlomek typu II) z odkazu na mojeskola.

Případně se ozví, jak se vede (+online nástroje z úvodního tématu VŠ - v MAW celý výpočet, ve Wolfram například rozklad na parciální zlomky a koeficienty).

Riso · 13. 01. 2011 11:50 — Editoval Riso (13. 01. 2011 12:18)

↑ jelena:
OK takže som si to rozložil na 2 integrály:
(4x^2 - 16x + 12)/(x^2 -2x + 2)^2
a
1/(x-2)^2

ten prvý som počítal podľa "Zlomek typu IV." teda ak nemá Reálne korene...
koeficienty mi vyšli K=-8 a L= -4
to by malo byť v pohode, prvú časť som to už len zintegroval pomocou subst. (x^2 -2x + 2) a druhú tiež nejak dokopal do výsledku...

a druhý je ľahký (po oprave...)

a ďakujem za pomoc :))

jelena · 13. 01. 2011 12:47

Pokud jde jen o metodu rozkladu na parciální zlomky, měl by být rozklad takto:

$\frac{A}{(x-2)^2} + \frac{B}{x-2}+\frac{Cx+D}{(x^2-2x+2)^2} + \frac{Ex+F}{x^2-2x+2}$

ovšem je vhodné před rozkladem provést co nejvíce úprav, například úprava čitatele:

$4x^2-16x+12=4(x^2-4x+4)-4=4(x-2)^2-4$ umožní rozdělit na 2 zlomky:

$\frac{4(x-2)^2}{(x^2-2x+2)^2(x-2)^2}-\frac{4}{(x^2-2x+2)^2(x-2)^2}=\frac{4}{(x^2-2x+2)^2}-\frac{4}{(x^2-2x+2)^2(x-2)^2}$

Také u vícenásobných kořenů je dobré se podívat na metodu Ostrogradského a na další metody pro racionální funkce z odkazu.

Také se podívej, co navrhuje MAW, myslím, že metodu Ostrogradkého už používá i další úpravy jsou podařeny.

To je celkem v rychlosti - záleží, jak moc podobných integrálů potřebujete pricvičit.

Riso · 13. 01. 2011 16:01

tak tento rozklad ma veľmi nepotešil... Ale v podstate už viem o čo ide...

ako v tomto prípade budem rátať jednotlivé koeficienty A B C D E F?? Vo všetkých textoch čo mám pri podobných príkladoch mám vynechaný postup len priamo napísané výsledky... Pre niekoho je to možno banalita no ja naozaj neviem...
V tom doplňujúcom odkaze bol príklad na parc. zlomky s dvomi koreňmi rovníc x=2 a x=-1 a to je pomerne jednoduché počítať, no čo robiť v tomto prípade??
ďakujem za rady

MAW navrhuje rozložiť to na parc. zlomky:
$http://wood.mendelu.cz/math/mathtex/mathtex.php?I=\int%20%20{{1-2\,x}\over{x^2-2\,x+2}}+{{6-2\,x}\over{\left(x^2-2\,x+2\right)^2%20%20}}+{{2}\over{x-2}}-{{1}\over{\left(x-2\right)^2}}\,\mathrm{d}x$
a v ďalšom kroku "integrovat jednotlivé sčítance":
$http://wood.mendelu.cz/math/mathtex/mathtex.php?I=%20-\ln%20%20\left(\left|%20x^2-2\,x+2\right|%20\right)+2\,\ln%20%20\left(\left|%20x%20%20-2\right|%20\right)+\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits%20%20\left({{1}\over{2}}\,\left(2\,x-2\right)%20%20\right)+{{2\,x-1}\over{x^2-2\,x+2}}+{{1}\over{x-2}}$
(do ponuky mi to navrhlo len 2/x-2 a -1/(x-2)^2 no zaškrtol som všetky) :)

PS: ani MAW mi neukáže ako vyrátalo jednotlivé koeficienty A B C D E a F...

jelena · 14. 01. 2011 00:52

Pokud setrváme u parciálních zlomků, tady je přehled užitečných (a usnadňujícíh) metod.

$\frac{A}{(x-2)^2} + \frac{B}{x-2}+\frac{Cx+D}{(x^2-2x+2)^2} + \frac{Ex+F}{x^2-2x+2}$

Na úvod (po převodu na společný jmenovatel) bych použila "zakrývací metodu" (dosazení x=2 "vyruší" každý koeficient, až na $A$ .

Další pomůcka je, že bez roznásobení je vidět, že nejvýšší mocnina $x^5$ bude pouze u $0x^5=Bx^5+Ex^5$ také je vidět absolutní členy:

$12=4A-8B+4D+8F$

Zbytek už bude asi na nasobení - zkoušela jsem uvažovat derivaci nebo něco jiného, ale jelikož mám velmi pochybné připojení a při psání toho příspěvku už opisuji stejnou věc, tak už to nechám tak.

Wolfram postup ukaže (zadej mu partial fractions a svůj výraz, v Show steps je postup, ale je to pro silné povahy)

QUAK · 23. 01. 2011 10:32

nechci zakládat nové téma tak to hodím sem, protože jde o parc. zlomek....
Chtěl bych se zeptat jak odhadnu kořeny následujícího polynomu?

LukasM · 23. 01. 2011 10:41

↑ QUAK:
Asi na milionu míst je napsáno, že pro nový dotaz se zakládá nové téma. Co je na tom tak nepochopitelného?
Nejde o parciální zlomky, vidím jen nějaký polynom - co s tím budeš dělat dál je asi každému jedno. Uhodni kořen 1 a vyděl ten polynom (x-1). Pokud bys to chtěl diskutovat dál, založ nové téma v sekci SŠ.

LukasM · 27. 05. 2013 11:32

LukasM napsal(a):
↑ QUAK:
Asi na milionu míst je napsáno, že pro nový dotaz se zakládá nové téma. Co je na tom tak nepochopitelného?

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2011 22:48

Parciálne zlomky

#2 13. 01. 2011 10:55

Re: Parciálne zlomky

#3 13. 01. 2011 11:50 — Editoval Riso (13. 01. 2011 12:18)

Re: Parciálne zlomky

#4 13. 01. 2011 12:47

Re: Parciálne zlomky

#5 13. 01. 2011 16:01

Re: Parciálne zlomky

#6 14. 01. 2011 00:52

Re: Parciálne zlomky

#7 23. 01. 2011 10:32

Re: Parciálne zlomky

#8 23. 01. 2011 10:41

Re: Parciálne zlomky

#9 27. 05. 2013 10:09 Příspěvek uživatele Lilier byl skryt uživatelem Lilier. Důvod: zla tema

#10 27. 05. 2013 11:32

Re: Parciálne zlomky

LukasM napsal(a):

Zápatí