Matematické Fórum

Že A = {x,z,w},  je správný postřeh.  Množina A je tedy 3 - prvková, zatímco množina B={0,1,2,3} je 4-prvková.
Tato skutečnost, že množina B má větší mohutnost než množina A ,  vede k tomu, že žádné  zobrazaní  f : A-----> B není surjektivní (tj. "na B").

Jedině řešení a) je správně.

Že b) není správně,  bylo již vysvětleno.

Že ani c) není správně, plyne dále z toho, že bijektivní zobrazení je taková, které je injektivní (=prosté) a při tom i surjektivní.

↑ dasha:

Kdyby bylo B={0,1,2}, pak by bylo:


a) Nesprávně - zobrazení je i nyní injektivní, ale stalo se surjektivním.

b) Nesprávně - uvedená zobrazení stále ještě není surjektivní.

Jsou-li A, B dvě množiny stejné KONEČNÉ mohutnosti a  f : A-----> B  ,  potom f je surjektivní tehdy a jen tehdy, když f je injektivní,
takže úlohy a, b  pak jsou neřešitelné.

c)  Správně.

↑ dasha:
Když A, B jsou KONEČNÉ množiny stejné mohutnosti, tak nelze v naší úloze sestrojit případy a), b).

Pokud by A, B měly stejnou NEKONEČNOU mohutnost, tak i tyto případy by byly řešitelné.
Tak třeba  pro A = B = N  = {1, 2, 3, ... }  je zobrazení  f(n) = n + 1  injektivní, ale chápme-li je ve smyslu N----->N , pak není surjektivní
(1 nemá žádný vzor),   zatímco zobrazení g : N----->N  definované  předpisem

                            g(2k) = k , g(2k - 1) =  k  pro k element N 

(tj. první vzorec definuje g(n)  pro n sudé, druhý pro n liché)  je surjektivní, ale není injektivní.

Podrobně se těmito otázkami zabývá teorie množin, ale mnohem více do hloubky, než by pro dálkové studenty nematematických oborů
bylo asi stravitelné.  Uvedu z toho stručně jen několik základních věcí: 

Definice 1.  Říkáme, že množiny A, B  mají stejnou muhutnost, právě když existuje bijekce   f : A-----> B .

Definice 2.  Říkáme, že množina M  je nekonečná, existuje-li její vlastní podmnožina D ("vlastní" znamená: taková, která při tom není rovna M),
mající stejnou mohutnost jako M.  O množině, která není nekonečná, říkáme, že je konečná.

Věta 1. Na systému K všech konečných množin je definováno právě jedno zobrazení c : K-----> {0, 1, 2, 3, ... } takové, že jsou splněny
následující výroky:
(1)   Je-li A prázdná množina, potom c(A) = 0.
(2)   Je-li M konečná množina a jestliže w nepatří do M,  potom M U {w}  je konečná množina a c(M U {w}) = c(M) + 1  .
Dále pak platí:
(3)   Konečné množiny A, B mjí stejnou mohutnost, právě když  c(A) = c(B) .

Definice 3. Číslo c(M) z předchozí věty definované jednoznačným způsobem pro libovolnou konečnou množinu M se nazývá mohutností
množiny M. 

Větu 1 lze ve vhodném (a přirozeném) axiomatickém systému dokázat a z ní pak odvodit další věty, které při výpočtech s konečnými
množinami běžně používáme, často aniž bychom si to uvědomovali.

Příklad 1.  c{Praha, Brno, Ostrava} = 3 ;  říkáme, že tato množina má 3 prvky , neboli tato množina má mohutnost 3.

Příklad 2:  Výše zmíněné zobrazení f definované předpisem  f(n) = n + 1 je bijekcí množiny N na množinu {2, 3, 4, ... }, která je
vlastní částí množiny N. Tím je dokázáno, že množina N a její vlastní část {2, 3, 4, ... } mají stejnou mohutnost, takže množina N je nekonečná.

Poznámka. Definice 1 říká, za jakých okolností lze dvě množiny považovat za stejně mohutné, ale explicite neříká, co ona mohutnost množiny
de facto je.  Tento nedostatek je alespoň pro konečné množiny napraven větou 1 a definicí 3,  které nám umožňují mohutnosti konečných
množin "měřit".  V teorii množin lze definiční obor funkce c rozšířit též na nekonečné množiny,  obor jejích hodnot pak samozřejmě přesáhne
množinu celých nezáporných čísel (jimž v této souvislosti říkáme konečná kardinální čísla) a je nutno zavést tzv. nekonečná kardinální čísla
pro mohutnosti nekonečných množin. Poněkud populárněji než v učebnicích "vyšší" teorie množin je o těchto otázkách pojednáno v publikaci
Bedřich Pospíšil: Nekonečno v matematice.