Matematické Fórum

Crusad · 14. 01. 2011 13:47 — Editoval Crusad (14. 01. 2011 14:18)

zdravím, mam problem s cauchyho ulohami. Umim si je celkem obstojne odseparovat, zintegrovat a dostanu pak obecne reseni. Dosadim pocatecni podminky a vyjde mi c. Ale napr. u tohoto prikladu mam problemy, vysledek mi vysel $y= \frac{2}{x^2} + c$ . V a) nevim odkud se bere ten interval, jinak mi vysledek vysel(c=0). V b) mi vyjde c=-2 a tak mi neni jasny, proc je ve vysledkach to co tam je. A v c) mi vyjde c=4, takze proc tam je ten vysledek a ten interval mi taky unika. Pokud by mi to nekdo vysvetlil, byl bych vdecny.

maly_kaja_hajnejch-Lazov

Mate ten vysledek spatne. $y= \frac{2}{x^2} + c$ neni obecne reseni.

interval: vezme se co nejdelsi interval, ktery je podmnozinou definicniho oboru a obsahuje pocatecni podminku.

Crusad · 14. 01. 2011 15:26

No vyslo mi obecne reseni jako $\frac{1}{y}=\frac{x^2}{2} + c$ Tak jsem si to otocil, a nejak jsem zapomnel na c. Takze asi spis
$y=\frac{2}{x^2}+\frac{1}{c}$ ?

Rumburak · 14. 01. 2011 15:40

Ten výsledek v b) je podle věty o jednoznačnosti řešení: že bodem [1, 0] prochází graf funkce y(x) = 0, která vyhovuje i té dif. rovnici, je zřejmé.

Ad c: Při separaci proměnných je výhodné pracovat s určitými integrály při využití počáteční podmínky.
Separovanou rovnici $-y^{-2}\,y' = x$ integrujeme na

$-\int_{1}^{\xi} y^{-2}\,y' \,\mathrm{d}x \,=\, \int_{1}^{\xi}x\, \mathrm{d}x$ ,

odtud po substituci na levé straně obdržíme

$-\int_{-2}^{y(\xi)} y^{-2} \,\mathrm{d}y \,=\, \int_{1}^{\xi}x\, \mathrm{d}x$ .

Výsledek mi vyšel stejně jako v těch materiálech.

Difer. rovnici řešíme na intervalu, v bodech $\pm\sqrt{2}$ je definiční obor fce y přerušen.

Rumburak · 14. 01. 2011 15:52

↑ Crusad: Z $\frac{1}{y}=\frac{x^2}{2} + c$ podle mne plyne $y=$\frac{x^2}{2}+c$^{-1} = \frac{2}{x^2 + 2c}$ .

Crusad · 14. 01. 2011 15:59

Dekuji. To s tim urcitym integralem vypada dobre. Jen nevim, co predstavuje to epsilon v horni mezi?

Rumburak · 14. 01. 2011 16:09

↑ Crusad:
Mělo by to být písmeno xi dočasně v roli nové proměnné místo x, když podle x integrujeme (a tudíž ho nemůžeme současně mít
v horní ani v dolní mezi). Až integrály vypočítáme, samozřejmě můžeme za xi dosadit zpátky x.

Crusad · 14. 01. 2011 17:24

Aha, tak diky za vysvetleni, uz mi to tak nejak vsechno snad zapadlo do sebe. A kdyz nebudu delat blbosti, ze blbe spocitam obecny reseni, tak se snad dostanu i k cili :-))

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2011 13:47 — Editoval Crusad (14. 01. 2011 14:18)

dif. rovnice prvniho radu s PP

#2 14. 01. 2011 15:07 — Editoval maly_kaja_hajnejch-Lazov (14. 01. 2011 15:08)

Re: dif. rovnice prvniho radu s PP

#3 14. 01. 2011 15:26

Re: dif. rovnice prvniho radu s PP

#4 14. 01. 2011 15:40

Re: dif. rovnice prvniho radu s PP

#5 14. 01. 2011 15:52

Re: dif. rovnice prvniho radu s PP

#6 14. 01. 2011 15:59

Re: dif. rovnice prvniho radu s PP

#7 14. 01. 2011 16:09

Re: dif. rovnice prvniho radu s PP

#8 14. 01. 2011 17:24

Re: dif. rovnice prvniho radu s PP

Zápatí