Matematické Fórum

squo · 14. 01. 2011 18:44

ahoj, ako by ste vyratali toto? bolo to na skuskovej pisomke a dopadlo to katastrofalne :/
dik :)

$\lim_{n->\infty} \frac{(n+1)^{100} - \sqrt{ n^{100} (n+2)^{100})}}{n^{98} }$

a taktiez by som sa chcel spytat na sumu konvergenciu - totizto mame urcit x tak, aby rada konvergovala...
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ln n}{n^2}e^{nx}$

mate nejake napady? vdaka pekne :)

FailED · 14. 01. 2011 19:32

↑ squo:

Třeba tak:
1) Roznásobit čitatele, odečíst, zkrátit.

2) Odmocninové krit. dá e^x, pro x=0 porovnat třeba s sqrt(n)/n^2.

squo · 14. 01. 2011 21:51

ako roznasobit citatela?
$citatel = (n+1)^{100} - \sqrt{ n^{100} (n+2)^{100})} = (n^2+2n+1)^{50} - n^{50} (n^2+4n+4)^{50}$ co teraz? mam to teraz rozpisovat podla vzoru: $(n^2+2n+1)^{50} = ((n^2+2n+1)^2)^{25}$ a pomaly zmensovat odmocninu? podla mna to je dost pracne :/

Olin · 14. 01. 2011 22:00

Já bych postupoval v úpravách jako $(n+1)^{100} = (n^2+2n+1)^{50}$ , $\sqrt{n^{100} (n+2)^{100}} = (n^2 + 2n)^{50}$ , rozdíl lze upravit pomocí vzorce $a^k - b^k = (a-b)$a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + a b^{k-2} + b^{k-1}$$ . Všechny členy ve velké závorce se budou limitně chovat jako $n^{98}$ .

squo · 14. 01. 2011 22:33

no vieme, ze $$a-b$ = 1$ a teda
$a^k - b^k = (a-b)$a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + a b^{k-2} + b^{k-1}$ = $a^{k-1} + a^{k-2}b + \dots + a b^{k-2} + b^{k-1}$$
ale po dosadeni, zase mame hnus typu $\[ $n^2+2n+1$^{49} +$n^2+2n+1$^{48} $n^2+2n$ + \dots + $n^2+2n$^{49}\]$ , nie?
a vysledok celej limity podla wolframu ma vyjst 50... co teda dalej?

Pavel · 14. 01. 2011 23:35

↑ squo:

$\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^{100} - \sqrt{ n^{100} (n+2)^{100}}}{n^{98} }=\lim_{n\to\infty} \frac{n^{100}\left(1+\frac 1n\right)^{100} - n^{100}\left(1+\frac 2n\right)^{50}}{n^{98} }=\lim_{n\to\infty} n^2\left[\left(1+\frac 1n\right)^{100} - \left(1+\frac 2n\right)^{50}\right]=\nl =\lim_{n\to\infty} n^2\left[1+\binom{100}{1}\frac 1n+\binom{100}{2}\frac 1{n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right) - 1-\binom{50}{1}\frac{2}{n}-\binom{50}{2}\frac{4}{n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right]=\lim_{n\to\infty} n^2\left[\frac{4950}{n^2}-\frac{4900}{n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right]=\nl =\lim_{n\to\infty} \left(50+o(1)\right)=50.$

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2011 18:44

limita - podiel obrovskych mocnin, konvergencia rady

#2 14. 01. 2011 19:32

Re: limita - podiel obrovskych mocnin, konvergencia rady

#3 14. 01. 2011 21:51

Re: limita - podiel obrovskych mocnin, konvergencia rady

#4 14. 01. 2011 22:00

Re: limita - podiel obrovskych mocnin, konvergencia rady

#5 14. 01. 2011 22:33

Re: limita - podiel obrovskych mocnin, konvergencia rady

#6 14. 01. 2011 23:35

Re: limita - podiel obrovskych mocnin, konvergencia rady

Zápatí