Matematické Fórum

claudia · 15. 01. 2011 03:57

Dobrý den, chtěla bych poprosit o pomoc s limitou z Děmidoviče.

$\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)^{1/x^2}=e^{\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)}$

Pokud použiji standardní úpravy, vyjde mi nekonečno mínus nekonečno.

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x^2}\left(ln\left(1+x2^x\right)-ln\left(1+x3^x\right)\right)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2^x}{x}\frac{ln\left(1+x2^x\right)}{x2^x}-\frac{3^x}{x}\frac{ln\left(1+x3^x\right)}{x3^x}$

Pokud se pokusím zbavit nekonečen, zbyde mi nekonečno krát nula.

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{2^x-1}{x}\frac{ln\left(1+x2^x\right)}{x2^x}-\frac{3^x-1}{x}\frac{ln\left(1+x3^x\right)}{x3^x}+\frac{1}{x}\left(\frac{ln\left(1+x2^x\right)}{x2^x}-\frac{ln\left(1+x3^x\right)}{x3^x}\right)=ln2-ln3+\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\left(\frac{ln\left(1+x2^x\right)}{x2^x}-\frac{ln\left(1+x3^x\right)}{x3^x}\right)$

Limita tohoto výrazu by měla být 0 (dle Maple), ale neumím to ukázat. Možná je to úplně slepá cesta.

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\left(\frac{ln\left(1+x2^x\right)}{x2^x}-\frac{ln\left(1+x3^x\right)}{x3^x}\right)=?$

Přemýšlím nad tím již tři dny a pořád nevím.

Děkuji.

Pavel · 15. 01. 2011 09:06 — Editoval Pavel (15. 01. 2011 09:23)

↑ claudia:

Existuje limita, která Ti pomůže zbavit se při výpočtu přirozeného logaritmu.

$\Large \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1,$

čitatel i jmenovatel se blíží k 0. Ty počítáš limitu

$\Large \lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)}{x^2},$

v níž také čitatel i jmenovatel se blíží k 0. Abychom mohli použít předchozí limitu, je třeba mít ve jmenovateli výraz, který logaritmujeme, zmenšený o 1. Proto celý zlomek rozšíříme:

$\Large \lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)}{\frac{1+x2^x}{1+x3^x}-1}\cdot\frac{\frac{1+x2^x}{1+x3^x}-1}{x^2}= \lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)}{\frac{1+x2^x}{1+x3^x}-1}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1+x2^x}{1+x3^x}-1}{x^2}.$

První limita se rovná 1. Je to vlastně přímé použití vzorce ze začátku, v němž se argument logaritmu blížil k 1. Tím pádem jsme se zbavili logaritmu a druhou limitu můžeme počítat jednodušeji.

$\Large \lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)}{\frac{1+x2^x}{1+x3^x}-1}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1+x2^x}{1+x3^x}-1}{x^2}=1\cdot\lim_{x\to 0}\,\frac{x2^x-x3^x}{x^2(1+x3^x)}=\lim_{x\to 0}\,\frac{2^x-3^x}{x(1+x3^x)}\stackrel{\mathrm{l'H}}{=}\lim_{x\to 0}\,\frac{2^x\ln 2-3^x\ln 3}{1+x3^x+x(3^x+x3^x\ln 3)}=\nl =\ln 2-\ln 3=\ln\frac 23\,.$

Zadaná limita z Děmidoviče se proto rovná $\frac 23$ a Wolfram Alpha přitakává - http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … +as+x+to+0

claudia

Děkuji, perfektní. Sice se to má spočítat bez použití l'Hospitalova pravidla, ale to už je řešitelný problém.

$\lim_{x\to 0}\,\frac{2^x-3^x}{x(1+x3^x)}= \lim_{x\to 0}\,\frac{2^x-3^x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\,\frac{1}{1+x3^x}= \left(\lim_{x\to 0}\,\frac{2^x-1-3^x+1}{x}\right)\cdot1= \lim_{x\to 0}\,\frac{2^x-1}{x}-\lim_{x\to 0}\,\frac{3^x-1}{x}=ln2-ln3$

Nicméně, pokud to správně chápu, abych mohla tvrdit, že $\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\right)}{\frac{1+x2^x}{1+x3^x}-1}=1$ musím ještě dokázat, že existuje prstencové okolí 0 takové, že $\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\neq1 \Leftrightarrow 1+x2^x\neq 1+x3^x \Leftrightarrow x2^x\neq x3^x \stackrel{\mathrm{x\neq 0}}{\Leftrightarrow} 2^x\neq 3^x \Leftrightarrow ln2 \neq ln3.$ Nebo je tohle zdůvodnění z nějakého důvodu zbytečné?

Pavel · 15. 01. 2011 14:45

↑ claudia:

Je to přesně, jak říkáš. Využívá se zde věta o limitě složené funkce. Implicitně jsem předpokládal, že podmínky této věty jsou splněny. Netušil jsem, že to chceš tak podrobně.

claudia · 15. 01. 2011 15:45

Znovu děkuji. Já se ve svých začátcích neodvažuji nic pokládat za zřejmé. Dokonce i váhám, jestli je zřejmé, že v okolí 0 je $x\cdot 3^x \neq -1$ , což je v důkazu též použito :-) Ale ze spojitosti funkce, funkční hodnody v 0 a definice limity bych v to doufala :-)

Pavel · 15. 01. 2011 16:50

↑ claudia:

Nerovnost $x\cdot 3^x \neq -1$ v nějakém prstencovém okolí bodu 0 platit určitě bude, a to z důvodů, které zmiňuješ, funkce $x\cdot 3^x$ je v okolí 0 spojitá, rostoucí a její funkční hodnota v 0 je 0.

V těchto úvahách se vyplatí vždy být opatrný, a to nejen v začátcích. Co není dokázáno, jakoby nebylo :-)

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2011 03:57

Děmidovič, limita #545

#2 15. 01. 2011 09:06 — Editoval Pavel (15. 01. 2011 09:23)

Re: Děmidovič, limita #545

#3 15. 01. 2011 14:24 — Editoval claudia (15. 01. 2011 14:26)

Re: Děmidovič, limita #545

#4 15. 01. 2011 14:45

Re: Děmidovič, limita #545

#5 15. 01. 2011 15:45

Re: Děmidovič, limita #545

#6 15. 01. 2011 16:50

Re: Děmidovič, limita #545

Zápatí