Matematické Fórum

petulkacip · 05. 05. 2008 14:59

jsem ztracena, prosim o pomoc...

zapomnela jsem vsechna pravidla pro goniometricke rovnice, funkce apod..:(
zkousela jsem si to pripomenout vasi matematikou polopate, ale stale jsem nenasla logicke postupy k reseni prikladu...

vsechna reseni rovnice tvori mnozinu sin^2 2x > 0 tvori mnozinu

vsechna reseni rovnice sin^3 x = 1 jsou

vsechna x nalezi do <0;2pi> ktera vyhovuji rovnici sin^2 x - 1 = tg^2 x tvori mnozinu

prosim o postup a o vysvetleni, doufam ze z toho pochopim postup k ostatnim silenostem podobneho druhu.... dekuju moc!!!!

jarrro · 05. 05. 2008 15:43 — Editoval jarrro (05. 05. 2008 18:57)

$\sin^2{2x}>0\nlx\in R-\bigcup$x;x=k\frac{\pi}{2}$\nl\sin^3{x}=1\nl\sin{x}=1\nlx=\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{\pi}{2}$4k+1$$

Jorica · 05. 05. 2008 16:33

↑ petulkacip:
ad) vsechna reseni nerovnice $\sin^2 2x > 0$ tvori mnozinu?

Tak to vezmeme postupne:
vyraz $\sin \alpha$ dava vysledky z intervalu $\langle -1,1 \rangle$ , to plati vzdy, i kdyz argumentem funkce sinus neni alfa, ale 2x.
Po umocneni na druhou budou vysledky nezaporne, takze vyraz $\sin^2 2x$ dava vysledky z intervalu $\langle 0,1 \rangle$ , tj. vzdy plati, ze $\sin^2 2x\geq 0$

Tvym ukolem je ale zjistit, kdy plati jen VETSI NEZ NULA, takze staci, kdyz vyloucime vsechny pripady v nichz nastava varianta rovna se nule.

Z nerovnice proto resime tuto rovnici:

$\sin^2 2x \neq 0$ odmocnim
$\sin 2x \neq 0$ substituci t = 2x upravim do tvaru
$\sin t \neq 0$ z jednotkove kruznice nebo grafu vyplyva, ze
$t \neq 0 + k\pi$ , tj. $t \neq k\pi$ , kde $k \in Z$ . Vratim se k puvodni promenne
$2x \neq k\pi$ delim 2
$x \neq k\frac{\pi}{2}$

Resenim nerovnice jsou vsechna realna cisla mimo celych nasobku pi/2

Jorica · 05. 05. 2008 17:04

ad) vsechna reseni rovnice $\sin^3 x = 1$ jsou?

Jak je uvedeno vyse v prispevku od jarrro
$\sin^3 x = 1$ urcim treti odmocninu
$\sin x = 1$ z jednotkove kruznice nebo grafu plyne, ze
$x = \frac{\pi}{2}+ 2k\pi$ (z duvodu periodicnosti fce sinus).
Tento vysledek po prevedeni scitancu na spolecneho jmenovatele a vytknuti pi/2 lze zapsat ve tvaru, jak uvedl jarrro, tj. $x=\frac{\pi}{2}$4k+1$$ .

Jorica · 05. 05. 2008 17:21

ad) vsechna x nalezi do $\langle 0, 2\pi\rangle$ ktera vyhovuji rovnici $\sin^2 x - 1= \tan^2 x$ tvori mnozinu?

Na rozdil od predchozich rovnic ci nerovnic, zde je nutne uvazit i to, ze fce tangens neni definovana vzdy, ale k tomu se vratim az v raveru reseni.
Pro fci tangens pouziji vztah $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ a dosadim do zadane rovnice.
$\sin^2 x - 1= $\frac{\sin x}{\cos x}$^2$
$\sin^2 x - 1= \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$

Pokud to jde, snazim se mit v rovnici co nejmene fci, tady vyuziji goniometrickeho vztahu $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ a vyjadrim si fci kosinus jako $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ . Dosadim
$\sin^2 x - 1= \frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}$
Zbavim se zlomku a po roznasobeni a prevedeni na jednu stranu prevedu na tvar:
$\sin^4 x-\sin^2 x+1=0$
Pokud se na vyraz $\sin^4x$ divame jako na $$\sin^2 x$^2$ , tak po pouziti substituce $t=\sin^2 x$ ziskame kvadratickou rovnici
$t^2-t+1=0$
Jak si snadno overis, tato rovnice ma zaporny diskriminant a nema v oboru realnych cisel reseni. Takze ani zadana rovnice nema reseni a nemusime proto stanovovat, jake hodnoty x nelze kvuli fci tangens vubec dosadit.

Je to tak? Doufam, ze me nekdo kontroluje :-)

petulkacip · 06. 05. 2008 15:07

↑ Jorica: DEKUJU MOC, ted se snazim prijit na dalsi priklad..dokonce jsem si i namalovala graf, ale porad mi to nevychazi podle vysledku....

vsechna x nalezi do <0; 2pi>, ktera splnuji podminku |cos x/2| < nebo rovno 1/2 tvori mnozinu

prosim pekne o postup....

Jorica · 08. 05. 2008 00:06

↑ petulkacip:
No snad se mi to podari vysvetlit, je mozne, ze na to jdu zbytecne slozite.
Psala jsi, ze jsi kreslila graf, no ja mam radeji jednotkovou kruznici, ale na obrazku mas vpravo i graf.

Takze resime nerovnici $|\cos \frac x2|\leq \frac 12$
Pokud to budu pocitat, zavedu si substituci $t=\frac x2$ , takze resim, kdy plati $|\cos t|\leq \frac 12$

Aby nerovnice platila, musi vyraz v absolutni hodnote davat vysledky od $-\frac 12$ do $\frac 12$ vcetne techto bodu. Pro nalezeni techto krajnich bodu vyresim rovnice:

a) $\cos t = -\frac 12$ (levy okraj cervene krivky na jednotkove kruznici)
b) $\cos t = \frac 12$ (pravy okraj cervene krivky na jednotkove kruznici)

Takze ad a) z jednotkove kruznice vyplyva, ze $t=\frac {\pi}{3}$ . Prestoze hledame reseni jen na intervalu $\langle 0, 2\pi\rangle$ , pro jistotu prictu periodu $2k\pi$ kde k je z mnoziny celych cisel.
$t=\frac {\pi}{3}+2k\pi$ , vratim se k puvodni promenne.
$\frac x2=\frac {\pi}{3}+2k\pi$ nasobim 2
$x=\frac {2\pi}{3}+4k\pi$ ,
v intervalu, na kterem hledame reseni, ale lezi jen $x=\frac {2\pi}{3}$ .

Podobne ad b) z jednotkove kruznice vyplyva, ze $t=\frac {2\pi}{3}$ . Zase bych mela pro jistotu pricist periodu $2k\pi$ , ale dopadlo by to jako ad a), takze to ted vynecham ;-). Vratim se k puvodni promenne
$t=\frac {2\pi}{3}$
$\frac x2=\frac {2\pi}{3}$ nasobim 2
$x=\frac {4\pi}{3}$ .

Resenim na $\langle 0, 2\pi\rangle$ jsou vsechna x z intervalu $\langle \frac {2\pi}{3}, \frac {4\pi}{3}\rangle$

Pokud davas prednost grafu, je to na obrazku vpravo. Nacrtla jsem si postupne na intervalu <0, 2*pi> fce
y = cos x (teckovane)
y = cos 2x (carkovane), jde o polovinu predchozi fce dvojnasobne "roztazenou" v ose x
y = |cos 2x| (plne cerne), cast predchozi fce, ktera byla pod osou x je zrcadlove prekreslena nad osu x

Vyznacila jsem vodorovnou carou i hodnotu y = 1/2 a na grafu fce y = |cos 2x| (zobrazene plne cerne) hledame jen body, ktere lezi na teto primce y = 1/2 a nebo jsou pod ni (zvyrazneno modre). Krajni body teto vyznacene casti by se stejne museli urcit bud z puvodniho grafu y = cos x, ja uz je popsala podle sveho predchoziho vypoctu.

No tak jsem zvedava, zda je tohle podle tebou ocekavaneho vysledku.