Matematické Fórum

VojtechSejkora · 16. 01. 2011 13:51

potřeboval bych zderivovat...respektie najít minimum funkce

u kružnice minimální r
rovnice její je
$\sqrt{( x - x_0)^2 +( y - y_0)^2}=r$

$x_0$ a $y_0$ jsou konstanty

koukám že pythagorova věta by byla úplně stejná... takže pokud mi s tímto někdo poradíte budu vám vděčen.... potřebuju to na jednu úložku z programování, ale ve škole jsme derivace ještě nebrai... jen vím že pokud se 1. derivace položí rovna 0 tak se najde potenciální extrém... a já potřebuji najít minimum (což exrém je) děkuji všem kteří mi s tímto pomohou

Sulfan · 16. 01. 2011 14:36

Kružnice ... to nepůjde lehko zderivovat, už jen proto, že to není funkce.

Kdyby se vyjádřilo y (rozdělila se na dvě funkce - tu horní půlku a dolní, aby pro každou hodnotu x bylo jen jedno y), tak by to mohlo vypadat takto:

doufám, že jsem tam neudělal nějakou botu :D

VojtechSejkora

↑ Sulfan:
a když to y bude funkcí x?

y=kx+c (prostě rovnice přímky)

njn já vím že je to docela obtížné, ale když mě nenapadlo nic jiného jak to řešit než přes toto, protože nevím jak jinak zjistit minimum

$\sqrt{( x - x_0)^2 +( k*x+c - y_0)^2}=r$

ale zas tam je jen 1 proměnná....

po úpravách mi z toho vylezlo (tedy pokud $(kx+c-x_0)^2=k^2*x^2+2kxc-2kxx_0-2cx_0+c^2+x_0^2$ )

$r^2=x((2+k^2)*x-(2+2k)*x_0+2kc)+x_0(2x_0-2c)+c^2$

nebo taky

$r^2=2x^2-2xx_0+x_0^2+k^2*x^2+2kxc-2kxx_0-2cx_0+c^2+x_0^2$

a toto zderivovat lze?

Pavel Brožek · 16. 01. 2011 15:08

↑ VojtechSejkora:

Co vlastně potřebuješ? Najít bod na kružnici, který bude mít minimální souřadnici y? Pak je to jednoduché. Platí totiž

$(y-y_0)^2=r^2-(x-x_0)^2$ ,

po odmocnění

$|y-y_0|=\sqrt{r^2-(x-x_0)^2}$ .

Chceme, aby y bylo minimální, tedy vzdálenost $y$ od $y_0$ (to je smysl výrazu na levé straně) maximální. Výraz na pravé straně je zřejmě maximální pro $x=x_0$ .

VojtechSejkora · 16. 01. 2011 15:15

↑ BrozekP:
potřebuji najít bod na přímce, kterým bude procházet kružnice s nejmenším r, když znám její střed...takže potřebuji vlastně udělat tečnu k té přímce.. a zjistit ve kterém bodě že se vlastně dotýká

abych byl úplně správný tak potřebuji toto najít u úsečky, ale to už snad dokážu domyslet jak to provést:)

Pavel Brožek · 16. 01. 2011 15:29

Přímku máme parametricky popsanou pomocí x. y je dáno jako y=kx+c. Vzdálenost bodu na přímce od středu kružnice je dána vztahem

$d^2(x)=(x-x_0)^2+(kx+c-y_0)^2$ .

Tenhle vztah platí pro všechna x, je to rovnost dvou funkcí. Zderivujeme tyto funkce podle x, jejich derivace se musí rovnat:

$2d(x)\cdot d'(x)=2(x-x_0)+2(kx+c-y_0)\cdot k$ .

Víme, že minimální vzdálenost bude odpovídat minimu funkce d(x), proto hledáme takové x, pro které je d'(x)=0. Pro něj tedy platí rovnice

$0=2(x-x_0)+2(kx+c-y_0)\cdot k$ .

Zbytek je jasný?

VojtechSejkora · 16. 01. 2011 15:59

↑ BrozekP:
jo tak z toho bych to měl už dokázat zpočítat... to x

takže si to roznásobím
$0 = 2x-2x_0+2k^2x+2kc-2ky_0$ teď "převedu" na jednu stranu všechny parametry, které nemají u sebe x
$2x_0-2ck+2y_0k = 2(1+k^2)x$ a teď vydělím celou rovnici 2(1+k^2) a mám x
$x=\frac{2x_0-2ck+2y_0k}{2(1+k^2)}$

je tomu tak?

díky moc

Pavel Brožek · 16. 01. 2011 16:13

↑ VojtechSejkora:

Řekl bych, že ano. Ještě můžeš pokrátit dvojku.

VojtechSejkora · 16. 01. 2011 16:22

↑ BrozekP:
ajo diky.... jsme si nebyl jistj estli ta tečka má být násobení protože z jedné strany závorky máš 2ku bez tečky a na konci máš k s tečkou...tak to jsem rád že jsme to poznal dobře...:)

ať se daří

Pavel Brožek · 16. 01. 2011 16:41

↑ VojtechSejkora:

Jj, tečky píšu, jak se mi zrovna chce a jak to vypadá líp.

Tobě také.

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2011 13:51

Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#2 16. 01. 2011 14:36

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#3 16. 01. 2011 15:03 — Editoval VojtechSejkora (16. 01. 2011 15:13)

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#4 16. 01. 2011 15:08

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#5 16. 01. 2011 15:15

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#6 16. 01. 2011 15:29

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#7 16. 01. 2011 15:59

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#8 16. 01. 2011 16:13

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#9 16. 01. 2011 16:22

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

#10 16. 01. 2011 16:41

Re: Derivace kruyźnice nebo pytagorovi vety

Zápatí