Matematické Fórum

Shalinka · 16. 01. 2011 20:23

Ahoj, mám příklad, se kterým si nevím moc rady: Do koule je vepsán rovnostanný válec (osovým řezem je čtverec) a rovnostranný kužel(osovým řezem je rovnostranný trojůhelník). Dokažte, že pro povrch S1 koule, povrch S2 válce a povrch S3 kuželu platí : S2=sqr(S1*S3).; přikládám obrázek, na kterém jsem naznačila vzorce, které známe. Po dosazení do vzorce mi ovšem vychází blbost, když se podívám na obrázek(kouli jsem pro přehlednost nakreslila 2x, do jedné jsem vepsala válec a do druhé kužel), myslím, že strany toho řezu válce a kužele jsou stejné, ale učitel mi řekl, že je to blbost, opravdu si nevím rady, je to příklad k maturitě a opravdu potřebuji pomoct, DĚKUJI ;)

obrázek: http://www.sdilej.eu/pics/350a9daaf5f96 … 7c726c.jpg

jelena · 16. 01. 2011 22:08

Zdravím,

strany jednotlivých řezů nejsou stejné. Pokud si vyznačiš poloměry, tak:

- pro čtverec průměr koule rozdělí čtverec na 2 trojúhelníky a používáš Pythagorovu větu, abys vypočetla stranu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou 2r,

- pro trojúhleník tři poloměry se sejou úprostřed rovnostranného trojúhelníku a rozdělí ho na 3 rovnoramenné trojúhelníky. Pro výpočet délky strany původního trojůhelníku počítaš základnu jednoho rovnoramenného třojúhelníku, ve kterém boční strany jsou délky r a úhel při vrcholu je 120 stupňů.

Stačí tak na úvod? Děkuji.

zdenek1 · 16. 01. 2011 22:10

↑ Shalinka:
U válce je průměr koule = úhlopříčce nakresleného čtverce
u kužele je poloměr koule = 2/3 výšky kužele

Shalinka · 17. 01. 2011 13:04

No jo, ale když si teda zjistím ty průměry tak zase nevím, jestli ta strana toho válce je stejná jako strana toho kužele.

Cheop · 17. 01. 2011 13:44 — Editoval Cheop (17. 01. 2011 14:02)

↑ Shalinka:
Pro válec je úhlopříčka čtverce =2r = a*sqrt(2)
$a=\frac{r\sqrt 2}{2}$
Pro kužel r=2v/3
Výška v rovnostranném trojúhelníku je: $v=\frac{a\sqrt3}{2}\nla=\frac{2v}{\sqrt3}$
čili:
$r=\frac{2v}{3}\nlv=\frac{3r}{2}$
$a=\frac{3r}{\sqrt3}\nla=r\sqrt3$
Strana válce: $a_v=\frac{r\sqrt2}{2}$
Strana kužele: $a_k=r\sqrt3$