Matematické Fórum

rasky22 · 09. 05. 2008 13:18

Na elipse o rovnici
najděte takový bod, aby tečna elipsy v něm sestrojená
vytvářela spolu s osami souřadnic trojúhelník nejmenšího obsahu.
Prosim pomoc opravdu nevim jak na to poraďte dekuji.

robert.marik

v bode $[x_0,y_0]$ se musi sestrojit tecna, pak se musi najit pruseciky tecny s osami a vypocitat ten obsah. Vyjde treba obsah jako funkce promenne x_0

A potom je to klasicka uloha na extremy funkce jedne promenne

Staci takove natuknuti?

rasky22 · 09. 05. 2008 14:03

dekuji za odpoved ale stale nevim jak vypocitat prusecity tecny s osami a ten obsah

Jorica · 09. 05. 2008 14:05

↑ rasky22:
Robert me predbehl, nez jsem si nacmarala obrazek.

Souhlas s nim. Nezarucim, ze to mam spocteno dobre, pracuji na necem jinam a tak jsem se na to moc nesoustredila, ale z rovnice tecny jsem si nasla pruseciky s osami....jsou vyznaceny v obrazku. Ted bych do rovnice elipsy dosadila misto x x_0 a vypocitala dve hodnoty y_0 (lisi se ve znamenku +-, proto jsou v obrazku zaznaceny dva body dotyku tecny). Tim budes mit obe strany trojuhelnika vyjadrene jen pomoci jedne nezname x_0.
Zapises vztah pro obsah trojuhelnika, ten podle x_0 derivujes a hledas extrem. Tak jen doufam, ze tato cesta vede k cili ;-)

rasky22 · 09. 05. 2008 16:24

porad se nemuzu dopocitat ten obsah prosim pomoc

rasky22 · 09. 05. 2008 20:15

↑ Jorica:

nejak mi to nejde zderivovat dostavam zvlastní vysledek ktery je slozitejsi kde delam chybu?

Jorica · 09. 05. 2008 20:49

↑ rasky22:
Vychazim z obrazku vyse

$S_\triangle =\frac{18}{x_0}\cdot\frac{8}{y_0}$

Do rce elipsy dosadim x_0 a vyjadrim y_0 nasledovne:

$y_0=\pm\frac 23\sqrt{18-x^2}$

Plochu trojuhelnika diky tomu vyjadrim jen pomoci jedne promenne x_0:

$S_\triangle =\frac{216}{x_0\cdot \sqrt{18-x_0^2}$

Tohle derivuji podle x_0 (zkus, jestli se dopocitas taky, kdyztak to rozepisu):

$S^,_\triangle =\frac{432$x_0^2-9$}{x_0\cdot \sqrt{$18-x_0^2$^3}$

Plati, ze $S^,_\triangle =0\Leftrightarrow x_0^2-9=0$ . Odtud mas dve reseni $x_0=\pm 3$

Dosazenim zpet mas ke kazdemu x_0 dve reseni pro y_0, takze celkem 4 body dotyku (coz se diky symetrii elipsy dalo cekat).

rasky22 · 09. 05. 2008 21:05

↑ Jorica:

diky uz to chapu ale porad se nemuzu dopocitat te derivace rozepsala bys ji prosim te

robert.marik

↑ Jorica:
klobouk dolů, já jsem neměl čas topočítat. přidal bych ale malý trik
$\frac{216}{x_0\cdot \sqrt{18-x_0^2}}\to \min$
je ekvivalentní problému ${x_0\cdot \sqrt{18-x_0^2}\to \max$ a to je pro kladná přípustná x_0 ekvivalentní problému ${x_0^2\cdot {(18-x_0^2)}\to \max$
Takže líní derivují funkci ${x_0^2\cdot ({18-x_0^2})$ ;)
a ti úplně nejlínější ani nederivují, ale malují parabolu $z(18-z)$ , hledají její vrchol (uprostřed mezi kořeny) a odmocňují x-ovou souřadnici kořene

Jorica · 09. 05. 2008 21:11 — Editoval Jorica (09. 05. 2008 21:11)

↑ robert.marik:
Hele, a to pises az ted, kdyz jsem to zderivovala? :-) Jinak zdravim ;-)
Ale diky, ze me nepovazujes za linou....jen mozna za natvrdlou :-))))

robert.marik · 09. 05. 2008 21:12

↑ Jorica:
nojo, když já jsem fakt neměl čas :) Ahoj. R.

Jorica · 09. 05. 2008 21:13

↑ robert.marik:
Ahoj, no jo, tak snad priste prijdu z prace jeste pozdeji nez dnes a budes rychlejsi :-)

rasky22 · 09. 05. 2008 21:18

↑ Jorica:

jen takovy maly problem neti ten obsah trojuhelniku jeste delen 2?

Jorica · 09. 05. 2008 21:20

↑ rasky22:
No vidis, davas pozor :-))) jasan, ze je, ale na derivaci to nastesti nema vliv ;-) Ale dopis si tam tu polovinu.

rasky22 · 09. 05. 2008 21:21

diky moc ze jste mi pomohli

rasky22 · 09. 05. 2008 22:29

↑ Jorica:

jeste takovy dotaz kdyz sem udelal oveřeni toho extremu druhou derivaci tak mi to vyslo mensi nez nula coz je loc. max ale ja potrebuju loc min kde je problem??

robert.marik

$y''=\frac{1296\,\left( {x}^{4}-15\,{x}^{2}+108\right) }{{x}^{3}\,\sqrt{18-{x}^{2}}\,{\left( {x}^{2}-18\right) }^{2}}$

$y''(3)=\frac{32}3$

rasky22 · 09. 05. 2008 23:57

↑ robert.marik:

pardon prehledl jsem znamenko

robert.marik · 10. 05. 2008 00:25

↑ rasky22:
ani se nedivím, já jsem to ručně nepočítal (lenost)

v limitních polohách $x=0$ a $x=\sqrt{18}$ funkce "uteče do nekonečna" a všude mezi tím je hladká a nabývá nějakých reálných hodnot. Logicky tam tedy někde musí být minimum. A protože stacionární bod an tomto intervalu je jenom x=3, musí to minimum být právě tam. Druhou derivaci v praktických úlohách většinou vůbec nepotřebujeme, protože to, že to je ten správný druh extrému, většinou vyplývá "z logiky věci".

Nix · 13. 05. 2008 22:18

↑ rasky22:
Taky mám problém s tímto příkladem. Pořád si nejsem jistý jak vypadá konečný výsledek. Mohl by to prosím někdo rozepsat.

robert.marik · 14. 05. 2008 00:03

[3,2]

hmyzak · 14. 04. 2009 17:36

Mám podobný příklad ale přeci jen bych měl malý dotaz, jak se přišlo na vzálenosti dotykových bodů té tečny z obrázku od počátku? tj. myslím to 8/y0 a 18/x0, díky

kaja.marik · 14. 04. 2009 17:45

asi je potreba napsat tu rovnici tecny a vypocitat to.

pri psani te tecny se da vyuzit bud diferencialni pocet jako u kazde jine funkce, nebo (pokud umite) analyticka geometrie kuzelosecek.

hmyzak · 14. 04. 2009 20:04

Sedím nad tím už pár hodin, projel jsem staré sešity ale pořád ne a ne natrefit na ten správný postup :-( musím se odreagovat u fotbalu, bo to snad není možné...

kaja.marik · 14. 04. 2009 20:40

klicova slova elipsa a polara vedou v googlu treba na tohle:

http://maths.cz/clanky/analyticka-geome … rimka.html

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2008 13:18

extrémy

#2 09. 05. 2008 13:50 — Editoval robert.marik (09. 05. 2008 13:50)

Re: extrémy

#3 09. 05. 2008 14:03

Re: extrémy

#4 09. 05. 2008 14:05

Re: extrémy

#5 09. 05. 2008 16:24

Re: extrémy

#6 09. 05. 2008 20:15

Re: extrémy

#7 09. 05. 2008 20:49

Re: extrémy

#8 09. 05. 2008 21:05

Re: extrémy

#9 09. 05. 2008 21:08 — Editoval robert.marik (09. 05. 2008 21:11)

Re: extrémy

#10 09. 05. 2008 21:11 — Editoval Jorica (09. 05. 2008 21:11)

Re: extrémy

#11 09. 05. 2008 21:12

Re: extrémy

#12 09. 05. 2008 21:13

Re: extrémy

#13 09. 05. 2008 21:18

Re: extrémy

#14 09. 05. 2008 21:20

Re: extrémy

#15 09. 05. 2008 21:21

Re: extrémy

#16 09. 05. 2008 22:29

Re: extrémy

#17 09. 05. 2008 23:44 — Editoval robert.marik (09. 05. 2008 23:45)

Re: extrémy

#18 09. 05. 2008 23:57

Re: extrémy

#19 10. 05. 2008 00:25

Re: extrémy

#20 13. 05. 2008 22:18

Re: extrémy

#21 14. 05. 2008 00:03

Re: extrémy

#22 14. 04. 2009 17:36

Re: extrémy

#23 14. 04. 2009 17:45

Re: extrémy

#24 14. 04. 2009 20:04

Re: extrémy

#25 14. 04. 2009 20:40

Re: extrémy

Zápatí