Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobrý den narazil jsem při počítání na následující příklad a nevím jak se řeší ?
Jsou dána lin. zobrazení z A:R3->R2 s předpisem A(x1,x2,x3)=(x1-2x2+2x3; x1+2x2-x3)
a B: R2->R3 s předpisem B(x1,x2)=(x1+2x2; 2x1+x2; x1-2x2).
Najděte předpis pro složené zobrazení A o B :R2->R2 a rozhodněte zde se jedná o izomorfismus??
děkuji za radu
Offline
↑ Rumburak: omlouvám se už jsem zadání opravil
Offline
↑ matematik2:
V zájmu přehlednosti bych proměnné v definici zobrazení A značil yi místo xi (aby se to odlišilo od proměnných v definici B).
Teď by to chtělo najít matice těch zobrazení. Matice složeného zobrazení pak bude rovna odpovídajícímu součinu předchozích matic,
podle hodnosti této výsledné matice pak můžeme usoudit, zda složené lin. zobr. je isomorfismem.
Offline
↑ Rumburak:
matice A 1 -2 2
1 +2 -1
matice B 1 2
2 1
1 -2
Offline
↑ matematik2:
složená matice A * B = -7 -4
+4 6
dále se tato matice upravovat pomocí GEM nedá tudíž bych řekl, že má hodnost 2 je to správně ? jak se určí izomorfizmus z hod?
Offline
matematik2 napsal(a):
↑ matematik2:
složená matice A * B = -7 -4
+4 6
dále se tato matice upravovat pomocí GEM nedá tudíž bych řekl, že má hodnost 2 je to správně ? jak se určí izomorfizmus z hod?
Offline
↑ Rumburak:↑ Rumburak:
tudíž toto linearni zobrazení izomorfismem je ?
jak bude vypadat předpis pro takovéto lineární složené zobrazení
Offline
↑ matematik2:
Pokud je správně spočítána ta matice
A * B = -7 -4
+4 6
(nepřepočítával jsem), pak to lineární zobrazení isomorfismem je, jak plyne z předchozího ↑ Rumburak:.
Že lineární zobrazení f je representováno maticí F znamená, že pro každý vektor x z definičního oboru zobrazení f je f(x) = F*x
(vpravo je součin matice F se sloupcově zapsaným vektorem x, vektor f(x) v prostoru hodnot funkce f je také "sloupsový").
Každé lineární zobrazení z Rm do Rn se dá takto vyjádřit.
Rovnici f(x) = F*x lze rozepsat podle definice součinu matice a vektoru resp. dvou matic (vektor x při tom považujeme za matici
s jedním sloupcem).
Offline
↑ Rumburak:
a dá se isomorfismus v tom to příkladě spočítat i způsobem : určit zda tyto dvě lineární zobrazení mají stejné dimenze ??
Offline
↑ Rumburak: tudíž toto lineární a isomorfní zobrazení A o B :R2->R2 by se dalo zapsat předpisem
A o B(x1,x2)=(-7x1-4x2; +4x1+6x2) ??
Offline
Nevím, co je to dimense lin. zobrazení f - snad dimense prostoru Im f ? Dejme tomu, že ano.
K tomu, aby zobrazení f o g (komposice lin. zobr. f, g) bylo isomorfismus (tj. zobrazení prosté a vzájemně jednoznačné), by rovnost dimensí
těchto zobrazení obecně nestačila, a to ani v optimálním případě, že by byla rovna 2 .
Vezměme v R3 bázi e1 , e2, e3 a položme X = Lin {e1 , e2}, Y = Lin {e1 , e2, e3} = R3, (Lin M znamená lin. obal mn. M) .
Nyní sestrojme LZ f, g :
g: X ----> Y tak, aby Im g = Lin {e2 , e3} ,
f : Y ----> X tak, aby Ker f = Lin {e3}.
Zřejmě potom dim g = dim f = 2 , avšak přesto Ker (f o g) <> 0 . V Ker (f o g) budou ležet všechny vektory x, pro ktreré g(x) padne
do Lin {e3} . Z Ker (f o g) <> 0 plyne, že f o g není isomorfismus.
PS. Na numerické přepočítávání výsledků dnes nejsem schopen se soustředit, sorry :-).
Offline
↑ Rumburak:
vysledný předpis A o B(x1,x2)=(-7x1-4x2; +4x1+6x2) je ale správný ??
Offline
↑ matematik2:
Jestli je správně spočítána ta matice, pak ano.
Offline