Matematické Fórum

vinney · 08. 05. 2008 10:40

x nalezi do intervalu <o;pi> tvori mnozinu:

tg x >nebo rovno cotg x
po uprave mi vyslo -1/cos x sinx>= 0

prosim o dalsi postup, nevim co s tim dale....

Jorica · 08. 05. 2008 10:56

↑ vinney:
Pokud ti vyslo $-\frac{1}{\cos x \sin x}\geq 0$ , tak jsi v zaveru uprav udelal(a) chybu, protoze $\sin^2 x-\cos^2 x \neq -1$ .

Chci se zeptat, zda vysledek mas urcit pocetne. Z grafu to jde totiz urcit snadneji.

vinney · 08. 05. 2008 14:59

↑ Jorica: ja to roznasobila jako sin^2 x - cos^2 x / cosx sinx >= 0 a potom sin^2 x - 1 - sin^2 x / cosx sinx>= 0
-1/cosx sinx>=0 a dale netusim co s tim, ptaji doslovne vsechna x nalezici do ntervalu <0;pi>, pro ktera plati tg x <= cotg x tvori mnozinu.....
a vysledek je <pi/4;pi/2)sjednoceno<3pi/4;pi)

Jorica · 08. 05. 2008 17:41 — Editoval Jorica (08. 05. 2008 17:46)

↑ vinney:
jo, vysledek, co sem pises, mi vysel, ale pocetne je to nechci rict hnusne, ale z grafu je to proste videt hned.
A ted k tve chybe:

spravne jsi to prevedla na jednu stranu a chtela nahradit vyraz $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ , ale pozor, pred cos^2 x je minus a tak jsi neobratila obe znamenka:

$\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\cos x\cdot \sin x}=\frac{\sin^2 x-$1-\sin^2 x$}{\cos x\cdot \sin x}=\frac{\sin^2 x-1+\sin^2 x}{\cos x\cdot \sin x}=\frac{2\sin^2 x-1}{\cos x\cdot \sin x}$

Editace: No a co se tyka zadani...z toho proste nevyplyva, zda to mas urcit pocetne nebo z grafu, proto se ptam, zda to ve skole pocitate, nebo zda je to priklad z prijimacek, tak je prece jedno, jakym zpusobem dojdes k vysledku.

Jorica · 08. 05. 2008 18:08 — Editoval Jorica (08. 05. 2008 18:15)

Tady jsou grafy funkci tangens a kotangens na intervalu <0, pi>

Zadani nerovnice ${\mathrm tg}x\geq {\mathrm cotg}x$ rika, ze hledas na ose x ty intervaly, kdy je funkce tangens (modry graf) stejne vysoko nebo vys nez funkce kotangens (cerveny graf). To plati v intervalech, ktere jsem vytahla zelene.

Navic, pokud bych to mela resit pocetne, tak ta nerovnice, co jsem psala vyse, je na reseni moc zdlouhava, to by k cili vedl rychleji tento postup...nahradit ${\mathrm cotg}x=\frac{1}{{\mathrm tg}x}$ a prevest to na tvar>

${\mathrm tg}x\geq {\mathrm cotg}x$
${\mathrm tg}x- \frac{1}{{\mathrm tg}x}\geq 0$
$\frac{{\mathrm tg}^2x-1}{{\mathrm tg}x}\geq 0$
atd.
Ale stale trvam na tom, ze nejrychleji je reseni videt primo z grafu.

Jorica · 09. 05. 2008 08:23

Tak jsem tu s dalsim postupem :)))) No jo, nedalo mi to ;)
Nerovnice, kterou bys resila ty i kterou jsem tu vcera navrhla ja....se resi obtizne, protoze je nutne brat v uvahu nasobeni nebo deleni az 3 vyrazu a to se vysetruje zdlouhave. Po techto upravach a substituci se to da vyresit jako standardni goniometricka nerovnice

${\mathrm tg} x\geq {\mathrm cotg} x$

prevest upravami, co jsme probirali vcera na tvar

$\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\cos x\cdot \sin x}\geq 0$

Citatel i jmenovatel pripomina vzorce pro dvojnasobny uhel, takze provedu upravy nerovnice tak, abych tyto vzorce mohla pouzit pro zjednoduseni citatele i jmenovatele, tj. vynasobim zlomek -1 (pozor na otoceni nerovnosti) a jmenovatel rozsirim 1/2 a 2

$\frac{-\sin^2 x+\cos^2 x}{\frac 12\cdot 2\cos x\cdot \sin x}\leq 0$
$\frac{\cos 2x}{\frac 12\sin 2x}\leq 0$

po vznasobeni 1/2

$\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\leq 0$
${\mathrm cotg} 2x\leq 0$

Odtud uz po substituci lze resit jako klasickou goniometrickou nerovnici.

vinney · 09. 05. 2008 15:06

↑ Jorica:to je docela slozite... myslim ze zvolim postup cteni z grafu!:) ale dekuju moc!!!
neporadila bys mi s touto rovnici, nejak mi to nevychazi.... lepe receno jsem se proste zase zasekla v pulce..:(

2cos2x+3sin^2x-2=0

Jorica · 09. 05. 2008 20:06

↑ vinney:
$2\cos 2x+3\sin^2x-2=0$
Tady nevidim nikde zaludnost, zkus mi napsat, kam ses dostala, treba zase prijdeme na nejakou drobnost.
Pouzila jsem jen vzorec pro $\cos2x$ a vyuzila, ze plati $sin^2x+\cos^2x=1$ a podarilo se mi to upravit az na tvar $\cos x=\pm 1$

vinney · 10. 05. 2008 17:05

↑ Jorica: ve vysledkach je x=kpi, ja na to jdu asi od zacatku spatne, vytkla jsem si dvojku a tudiz 2(cos2x-1) + 3sin^2x=0, 2(cos^2x - sin^2x-1) + 3sin^2x=0 a pak jsem se nejak zasekla:(

aritentd

$2cos2x+3sin^2x-2=0$
jak pise Jorica, pouzijeme vzorec $cos2x=cos^2x-sin^2x$ a $cos^2x+sin^2x=1$
$2(cos^2x-sin^2x)+3sin^2x-2=0$
$2(1-sin^2x-sin^2x)+3sin^2x-2=0$
$sin^2x=0$
$sinx=0$
$x=k\pi$