Matematické Fórum

Dzunk · 18. 01. 2011 15:37 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 15:46)

Cau, nevite nekdo jak urcim tecnu kruznice x^2+Y^2-6x-4y-3=0, ktera je rovnobezna s primkou P:6x+8y-21=0. Podobnej priklad sem ani nenasel nikde na netu tak to zkusim jeste tady a uvidime. Kdyz by byla kolma vim, ze se musi obratit cisla u X a Y a prohodit jedno znamenko(nak furt nechapu proc, ale to problem neni. Vsem kteri poradi budu vdecnej
EDIT: v dalsim priklade mam v zadani at najdu tecnu kruznice v bode [7,?]. neni ten otaznik chyba?

Dana1 · 18. 01. 2011 15:48 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 15:52)

↑ Dzunk:

Napríklad podľa tohto (nie hneď na začiatku, Lemma 3):
dotyčnica

Dana1 · 18. 01. 2011 16:03 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 16:22)

↑ Dzunk:

K otázke 2. Bod leží na tej kružnici, jeho súradnicu y treba vyrátať z rovnice kružnice.

K otázke 1 všeobecne: Bod dotyku leží aj na dotyčnici aj na kružnici. Ak má byť dotyčnica rovnobežná s nejakou priamkou, pri x a y má rovnaké čísla, rozdiel je iba v tretej hodnote ("holom" čísle - v absolútnom člene).

Zapíše sa rovnica dotyčnice, pričom absolútny člen nebude -21, ale nejaké (zatiaľ neznáme) c.

Súradnice bodu dotyku musia vyhovovať obom rovniciam, vyjadrí sa z rovnice priamky napríklad x (vo vyjadrení bude aj c), dosadí sa do rovnice kružnice a rieši sa kvadratická rovnica s parametrom c. Pretože priesečník má byť 1 bod, musí byť hodnota diskriminantu rovná 0 a z toho vyjde c do rovnice dotyčnice.

Dotyčnice ku kružnici rovnobežné s danou priamkou sú vždy 2, aj čísla c vyjdú 2.

Dzunk · 18. 01. 2011 16:16 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 16:27)

jde o to ze ma byt rovnobezna k primce P:6x+8y-21=0 ... Vypocitat bych to chtel, ale na to zase potrebuju polomer a souradnice stredu kruznice a to jsem nasel ze se dela ze si prevedu obecnou rovnici na stredovou rovnici, ale problém je že já mám obecnou rovnici x^2+y^2-53=0 a teď nevim jak to mám dostat do toho tvaru (x-n)^2+(y-m)^2=R^2 když mám jen x a y.
EDIT:otazku 1 uz chapu, moc diky

Dana1 · 18. 01. 2011 16:23

↑ Dzunk:

Na stredový tvar sa prevedie rovnica doplnením do úplného štvorca.

Dzunk · 18. 01. 2011 16:31

myslíš (a^2+2ab+b^2) ?

Dana1 · 18. 01. 2011 16:31 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 16:35)

↑ Dzunk:

Ano.

Mne vyšla tá stredová rovnica (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 16

Dzunk · 18. 01. 2011 16:36 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 16:40)

ale vždyť tam bude hrozně moc způsobů jak to sestavit ne? muze to bejt (x+8)^2+(y+8)^2 nebo (x+6)^2+(y+5)^2 nebo i jakkoliv jinak ne?
edit: sakra tak asi neumim ani tohle, jak koukam... jak se to pocita prosimte? ja sem myslel ze se tam dopni jakykoliv cisla aby to sedelo do toho ctvercovyho tvaru, ale tak to asi nebude jak tak koukam

Dana1 · 18. 01. 2011 16:48

↑ Dzunk:

Dáš si k sebe členy s x, členy s y a potom čísla. Ten začiatok s x^2 a x berieš ako začiatok toho vzorca, teda x^2- 6x je akože

x^2- 2*3x, to je začiatok vzorca a^2- 2*a*b, teraz treba doplniť to "b^2". Zo zápisu vyplýva, že b = 3, teda pridáš +9. Pretože ale tam to +9 pôvodne nebolo, musíš ho hneď aj odrátať. Výsledok:

(x - 3 )^2 -9.

Takto isto aj s y, skús.

Cheop · 18. 01. 2011 18:57 — Editoval Cheop (18. 01. 2011 19:10)

↑ Dzunk:
Kružnice:
$x^2+y^2-6x-4y-3=0$
Rovnice tečny bude mít tvar:
$6x+8y+c=0\nly=\frac{-6x-c}{8}$ - je rovnoběžná s přímkou: $6x+8y-21=0$
Dostáváme:
$x^2+\left(\frac{-6x-c}{8}\right)^2-6x-4\cdot\frac{-6x-c}{8}-3=0$ - úpravou:
$100x^2+12xc-192x+c^2+32c-192=0\nl100x^2+x(12c-192)+c^2+32c-192=0$ aby to byla tečna potom diskriminant této kvadratické rovnice= 0(jeden společný bod) tj:
$(12c-192)^2-400(c^2+32c-192)=0$ - úpravou:
$c^2+68c-444=0\nlc_1=6\nlc_2=-74$
Rovnice tečen:
$t_1:\,6x+8y+6=0\nlt_1:\,3x+4y+3=0$
$t_2:\,6x+8y-74=0\nlt_2:\,3x+4y-37=0$
Řešení:
$t_1:\,3x+4y+3=0\nlt_2:\,3x+4y-37=0$

PS U toho druhého příkladu to není chyba, ale nevíme co máme počítat. (chybí přesné zadání napiš ho)

Dzunk · 18. 01. 2011 20:10

wow moc diky, tohle mi vazne pomuze. tam je zadani najdete tecny kruznice x^2+y^2-53=0 v bode T [7,?].
Dana: to nechapu jak se z tyhle rovnice dela ten stredova rovnice, vzdyt tam zadny 6x neni...

Dana1 · 18. 01. 2011 20:13 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 20:16)

↑ Dzunk:

Táto rovnica už je v stredovom tvare, má stred (0,0). Polomer má odmocnina z 53, lebo r^2 je 53.

Možno pomôže
Odkaz

Najprv dosaď to x = 7, dostaneš bod dotyku a skús použiť vzorec pre dotyčnicu v bode dotyku.

Cheop · 18. 01. 2011 21:13

↑ Dzunk:
$x^2+y^2=53$ - dosadíme za x 7 a dopočítáme y-ovou souřadnici bodu dotyku
$7^2+y^2=53\nly^2=4\nly=\,\pm\,2$
$T_1=(7;\,2)\nlT_2=(7;\,-2)$
Rovnice tečenprocházející body T_1, T_2
Pro T_1:
$t_1:\,(7-0)(x-0)+(2-0)(y-0)=53\nlt_1:\,7x+2y-53=0$
Pro T_2:
$t_2:\,(7-0)(x-0)+(-2-0)(y-0)=53\nlt_2:\,7x-2y-53=0$
Rovnice tečen:
$t_1:\,7x+2y-53=0\nlt_2:\,7x-2y-53=0$

Dzunk · 18. 01. 2011 21:34 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 22:02)

jestli mi to vyslo spravne tak tecna bude v bode T[7,2], ted musim spocitat vektor mezi S a T. Potom vypocitam jeho normalovy vektor a zjistim jakej smer ma ta tecna a z vektoru a bodu uz udelam rovnici. Pocitam to dobre? rovnice ty primky mi vysla 2y+7x-53=0. jeste bych potreboval poradit jak se pocit rovnice kruznice opsane kdyz je a [2,3] B[4,5] C[6,-1]. uz to i lehce chapu tak snad by mel stacit jen nakej souhrn postupu, diky
EDIT: aha takze sem to vypocital blbe, co je to za vzorec na ty tecny?

Cheop · 18. 01. 2011 21:40 — Editoval Cheop (18. 01. 2011 21:46)

↑ Dzunk:
Tečna k té kružnici v bodě dotyku (7,2)
bude mít rovnici:
$7x+2y-53=0$
Máš-li kružnici se středem S(m; n) o rovnici: $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$
a bodem dotyku T(x_0; y_0)
potom rovnice tečny je:
$(x_0-m)(x-m)+(y_0-n)(y-n)=r^2$
V našem příkladě je $m=0\nln=0$ $r^2=53$ bod dotyku (7,2)
tedy rovnice tečny je:
$(7-0)(x-0)+(2-0)(y-0)=53\nl7x+2y=53$

Dzunk · 18. 01. 2011 21:44 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 21:45)

a podle jakyho vzorce je to $t_1:\,(7-0)(x-0)+(2-0)(y-0)=53\nlt_1:\,7x+2y-53=0$
EDIT: diky, ten vzorec sem nikdy nevidel...

Cheop · 18. 01. 2011 22:01

↑ Dzunk:
Kdybys to chtěl ještě jinak:
Směrový vektor přímky ST =(7-0; 2-0)=(7; 2)
Tečna je na tuto přímku kolmá tedy směrový vektor přímky ST je normálovým vektorem hledané tečny
Tečna bude mít tvar:
$7x+2y+c=0$ a bude procházet bodem dotyku (7,2) tedy dopočítáme c
$7\cdot 7+2\cdot 2+c=0\nlc=-53$
Rovnice tečny:
$7x+2y-53=0$ výsledek je stejný.

Dzunk · 18. 01. 2011 22:10

ja to udelal jeste jinak, a mel jsem to dokonce spravne jen sem spatne spocital ze 49+4=51 a ne 53. udelal jsem si z toho vektoru a bodu parametricke vyjadreni a z toho az obecnou rovnici.

Cheop · 18. 01. 2011 22:20

↑ Dzunk:
Ta rovnice kružnice opsané bude
$(x-5)^2+(y-2)^2=10$

Dzunk · 19. 01. 2011 18:25

a jak k tomu dojit? ja sem vypocital pomoci vzorce, ale radsi bych nejakej zpusob na kterej nebudu vzorce potrebovat, protoze ten si moc dlouho nezapamatuju....

Cheop · 19. 01. 2011 18:44 — Editoval Cheop (19. 01. 2011 22:03)

↑ Dzunk:
Tak to bude těžké, bez pomocí vzorců, které zapomeneš.
Máme body:
A=(2;3) B=(4;5) C=(6;-1)
Vektor AB =(2; 2) =(1; 1)
Vektor AC =(4; -4) = (1; -1)
Tyto vektory jsou na sebe kolmé - jejich skalární součin = 0 (1*1+(-1)*1=0)
Z toho plyne, že trojúhelník je pravoúhlý - pravý úhel je u vrcholu A
Víme, že střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku leží ve středu přepony a poloměr je 1/2 přepony.
Střed kružnice leží ve středu úsečky BC tj:
S=(B+C)/2 = ((4+6)/2; (5-1)/2)=(5; 2)
$S=(5;\,2)$
Poloměr je 1/2 vzdálenosti bodů AC tedy:
$r=\frac{\sqrt{(6-4)^2+(-1-5)^2}}{2}\nlr=\frac{\sqrt{40}}{2}=\sqrt{10}$
Rovnice kružnice:
$(x-5)^2+(y-2)^2=10$

PS:
Tento postup lze použít jen u pravoúhlého trojúhelníku.
V obecném trojúhelníku by to bylo takto:
1) Vypočítat vektory 2 stran (tyto vektory jsou normálové vektory hledaných os stran)
2) Určit rovnice 2 os stran jako rovnici přímky kolmých vektorů procházející středem strany
3) Určit střed kružnice jako průsečík 2 os stran (2 rovnice o 2 neznámých)
4) Určit poloměr kružnice jako vzdálenost středu (průsečíku) od jednoho z vrcholů.
5) Napsat rovnici kružnice

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2011 15:37 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 15:46)

Určení tečny rovnobezne s primkou

#2 18. 01. 2011 15:48 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 15:52)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#3 18. 01. 2011 16:03 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 16:22)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#4 18. 01. 2011 16:16 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 16:27)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#5 18. 01. 2011 16:23

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#6 18. 01. 2011 16:31

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#7 18. 01. 2011 16:31 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 16:35)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#8 18. 01. 2011 16:36 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 16:40)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#9 18. 01. 2011 16:48

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#10 18. 01. 2011 18:57 — Editoval Cheop (18. 01. 2011 19:10)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#11 18. 01. 2011 20:10

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#12 18. 01. 2011 20:13 — Editoval Dana1 (18. 01. 2011 20:16)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#13 18. 01. 2011 21:13

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#14 18. 01. 2011 21:34 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 22:02)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#15 18. 01. 2011 21:40 — Editoval Cheop (18. 01. 2011 21:46)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#16 18. 01. 2011 21:44 — Editoval Dzunk (18. 01. 2011 21:45)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#17 18. 01. 2011 22:01

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#18 18. 01. 2011 22:10

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#19 18. 01. 2011 22:20

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#20 19. 01. 2011 18:25

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

#21 19. 01. 2011 18:44 — Editoval Cheop (19. 01. 2011 22:03)

Re: Určení tečny rovnobezne s primkou

Zápatí