Matematické Fórum

Ebola · 16. 01. 2011 21:22

Ahoj, řeším příklad a vůbec si s ním nevím rady, hlavně kvůli toho že výsledek obsahuje něco úplně jiného než k čemu jsem zatím byl schopen úpravami dojít.

Hmotný bod se pohybuje zpomaleně po kružnici o poloměru R tak, že v libovolném čase pro normálové zrychlení a_n a tečné zrychlení a_t platí l a_n l = l a_t l. Počáteční rychlost hmotného bodu byla v_0. Jaká je rychlost a velikost zrychlení?

Byl jsem si schopen odvodit zatím jen vztah že $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$ což je v podstatě $a = \sqrt{2 a_n^2}$ a $a_n = \frac{v^2}{R}$

Výsledek je $v = v_0 e^{-2s / R}$ a $a = \frac{v_0^2}{R} \sqrt{2} e^{-2s / R}$

Dík

zdenek1 · 17. 01. 2011 15:44

↑ Ebola:
$a_t=\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}$ , $a_n=\frac{v^2}R$ , velikosti se rovnají
$-\frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}=\frac{v^2}R$ ( $-$ zpomalený pohyb)
$\frac{\mbox{d}v}{v^2}=-\frac1R\mbox{d}t$
$\int\frac{\mbox{d}v}{v^2}=-\frac1R\int\mbox{d}t$
$-\frac1v=-\frac tR+K$ z počátečních podmínek $t=0\,\Rightarrow v=v_0$
$K=-\frac1{v_0}$
$v=\frac{v_0R}{R+v_0t}$ (1) (já osobně bych tu rychlost nechal takto, ale ve výsledkách je jako funkce dráhy, takže pokračujeme)

$s=\int v\mbox{d}t=\int\frac{v_0R}{R+v_0t}\mbox{d}t=R\ln(R+v_0t)+C$ z počátečních podmínek $t=0\,\Rightarrow s=0$
$C=-R\ln R$
$s=R\ln\frac{R+v_0t}R\,\Rightarrow\,v_0t=R(e^{\frac sR}-1)$
dosadíme do (1)
$v=v_0e^{-\frac sR}$ (tebou uváděný výsledek je špatně)

$a=\sqrt2a_n=\sqrt2\frac{v^2}R=\sqrt2\frac{v_0^2e^{-\frac{2s}R}}R$