Matematické Fórum

bimbo34 · 19. 01. 2011 11:56

sqrt{8}((1+i)/sqrt(3+i))

dal som to vsetko pod jednu odmocninu teda celz zlomok pod 16 odmocninou v citateli je potom (1+i)^2, to som podla vzorca upravil. vyslo 1+2i+i^2, takye jednotky mi vypadnu... a ostane mi sqrt{16}(2i/(3+i)), co s tym dalej? alebo ako to pocitat?

jelena · 19. 01. 2011 12:48

Zdravím,

zadání je tak?

$\sqrt[8]{\frac{1+\rm{i}}{\sqrt{3+\rm{i}}}}$ Dekuji.

Rumburak · 19. 01. 2011 13:13

↑ bimbo34:
A kde je ta "rovnice" slibovaná v názvu ?

bimbo34 · 19. 01. 2011 13:59

↑ jelena:
ano presne tak

bimbo34 · 19. 01. 2011 14:00

↑ Rumburak:
nie je to rovnica ale vyraz som sa pomylil

bimbo34 · 19. 01. 2011 14:40

a uz asi viem ako to spocitat... na konci je treba vypocitat az 8 korenov, ze?

Dana1 · 19. 01. 2011 14:57 — Editoval Dana1 (19. 01. 2011 15:01)

↑ bimbo34:

Bimbo, ak to nie je rovnica (čo nie je), nemôže to mať korene...

Asi sa to dá len upravovať, aby to na konci malo nejaký ľudský tvar.

Neviem, či by toto pomohlo

bimbo34 · 19. 01. 2011 15:29

↑ Dana1:
nie je to rovnica, ale korene to nakoniec mat bude :)
dany vyraz sa upravi, potom sa z neho vypocita uhol a dosadi sa do vzorca:
z_k=sqrt{n}abs(z)[cos((alfa+2kpi)/n)+isin((alfa+2kpi)/n)], pre k=0,1...n-1

jelena · 19. 01. 2011 15:43

↑ bimbo34:

ano, bude se počítat n-odmocnina z komplexního čísla. V tomto případě po Tvé úpravě to bude 16. odmocnina.

Použila bych tuto úpravu - rozšíření kompl. číslem sdruženým k jmenovateli:

$\sqrt[16]{\frac{2\rm{i}}{3+\rm{i}}}=\sqrt[16]{\frac{2\rm{i}(3-\rm{i})}{(3+\rm{i})(3-\rm{i})}}$

Zkus, prosím, uzavřit svůj zápis do "dolarů" - viz mistní TeX. Děkuji.

Rumburak

↑ Dana1: , ↑ bimbo34:

Ono to s rovnicemi nakonec přece jen souvisí. Je nutno si uvědomit, že existuje rozdíl v pojetí odmocniny v reálném oboru a v komplexním oboru.

V reálném oboru panuje snaha vnímat odmocniny jako jednoznačně definované funkce, například $\sqrt[8]{256} = 2$ . Podrobněji:
za $\sqrt[n]{A}$ , kde n je přirozené číslo, A reálné číslo se bere

1) nezáporný kořen rovnice $x^n = A$ v případě, že takový existuje (není těžké ukázat, že nezáporný kořen je nejvýše jeden),

2) záporný kořen rovnice $x^n = A$ v případě, že takový existuje a při tom tato rovnice NEMÁ NEZÁPORNÝ KOŘEN (záporný kořen je
rovněž nejvýše jeden).

Příklady:

Ad 1) $3^4 = 81$ , 3 je nezáporné číslo, proto $\sqrt[4]{81} = 3$ .

(Sice rovněž $(-3)^4 = 81$ , avšak kořen -3 rovnice $x^4 = 81$ je pro definici $\sqrt[4]{81}$ bezcenný, protože tato rovnice
má i nezáporný kořen +3, jemuž je v definici $\sqrt[4]{81}$ dána přednost.)

Ad 2) $(-2)^3 = -8$ , při čemž rovnice $x^3 = -8$ nemá nezáporný kořen, proto $\sqrt[3]{-8} = -2$ .

Dále: Rovnice $x^2 = -4$ nemá reálné kořeny , takže pro $\sqrt[2]{-4}$ v reálném oboru definici nemáme.

V komplexním oboru je situace jiná, neboť revnice $x^n = A$ pro komplexní $A \ne 0$ (n je stále přirozené číslo) má n komplexních
kořenů a je-li navíc $A$ imaginární, pak jsou imaginární i všechny kořeny uvažované rovnice a není mnoho důvodů, proč jedomu
imaginárnímu kořenu dávat přednost před jiným imaginárním kořenem. Jako odmocniny v komlpexním oboru proto bereme včechny
tyto kořeny. Znakem $\sqrt[n]{A}$ pak zpravidla míníme množinu všech těchto kořenů.

Máme tedy nalézt všechna komplexní řešení rovnice

$z^8 = \frac{1+\rm{i}}{\sqrt{3+\rm{i}}}$ .

Jde o tzv. binomickou rovnici. Jak se takové rovnice řeší, najdeš na webu (i zde na foru o tom nějaký příspěvek bude).

EDIT. Vidím, že než jsem stihl příspěvek dopsat, pohnulo se řešení úlohy správným směrem,. :-)

Dana1 · 19. 01. 2011 16:14

↑ Rumburak:

Ďakujem za výklad, je to zaujímavé...

bimbo34 · 19. 01. 2011 16:17

$z_k=\sqrt[n]{|z|}[cos(\frac{\alpha+2k\pi}{n})+isin(\frac{\alpha+2k\pi}{n})]$

bimbo34 · 19. 01. 2011 16:31

kde k = 0,1...n-1, teda v tomto pripade k = 0,1...7 ak sa nemylim

Rumburak · 19. 01. 2011 16:33

↑ bimbo34:
Přihořívá. Bude nutno ještě správně dosadit za $z$ (dopočítat |z|) a $\alpha$ , a doplnit, že k = 0, 1, ..., n-1 , kde v našem případě n = 8 .

bimbo34 · 19. 01. 2011 16:33

↑ jelena:
a nebude sa tam pocitat len 8 korenov, podla povodneho zadania?

jelena · 19. 01. 2011 16:46

↑ Rumburak: :-) co to slabé posunutí je oproti Mistrům, děkuji.

↑ bimbo34: řekla bych, že po úpravě máme počítat 16. odmocninu (tedy 16 kořenů).

Zadání je v pořádku? není odmocnina jen nad "3"? Děkuji.

bimbo34 · 19. 01. 2011 17:32

↑ jelena: zadanie je v poriadku... rumburak tiez tvrdi ze 8 korenov

bimbo34 · 19. 01. 2011 17:35

↑ Rumburak:
|z| mi vyslo sqrt(0.4) a $\alpha$ priblizne 22.78 $\pi$

jelena · 19. 01. 2011 18:08

↑ bimbo34:

Ty jsi napsal, že jsi provedl takovou úpravu:

$\sqrt[8]{\frac{1+\rm{i}}{\sqrt{3+\rm{i}}}}=\sqrt[8]{\sqrt{\frac{(1+\rm{i})^2}{{3+\rm{i}}}}}=\sqrt[16]{\frac{2\rm{i}}{3+\rm{i}}}$

doplňovala jsem jen toto:

$=\sqrt[16]{\frac{2\rm{i}(3-\rm{i})}{(3+\rm{i})(3-\rm{i})}}$

teď se rozhodní sam, prosím. Případně máš pomocné stroje. Dekuji.

Rumburak

↑ bimbo34:
Já jsem v zadání ovšem poněkud přehlédl, že i ve jmenovateli toho zlomku je odmocnina (omluva). Jde tedy o to vyřešit rovnici

(1) $x^8 =\frac{1+\rm{i}}{\sqrt{3+\rm{i}}}$ .

Nutno zde podotknout, že ve smyslu odmocňování v komplexním oboru $1+\rm{i} \ne \sqrt{(1+\rm{i})^2$ , protože rovnice $z^2 = (1+\rm{i})^2$
má dva kořeny, a sice $z_{1,2} = \pm(1+\rm{i})$ . Budeme-li řešit místo rovnice (1) rovnici

(2) $x^{16} =\frac{2\rm{i}}{3+\rm{i}}$ ,

pak tím získáme vedle kořenů rovnice (1) též kořeny rovnice

(3) $x^8 =\frac{-(1+\rm{i})}{\sqrt{3+\rm{i}}}$ .

S tím bude nutno se vypořádat buďto zkouškou všech 16-ti kořenů, nebo nějakou úvahou, která to zjednoduší .

nibbio · 30. 01. 2011 22:40

Zdravim, mam rovnaky problem ako sa tu riesil(tu istu rovnicu). Viac menej chapem ako sa upravila ta rovnica, ale neviem sa dalej pohnut. Ak som to pochopil, tak dalej treba dosadit do tohto vzorca.
$z_k=\sqrt[n]{|\alpha|}[cos(\frac{\alpha+2k\pi}{n})+isin(\frac{\alpha+2k\pi}{n})]$
Zaujima ma teda, co dosadim miesto alfa?

jelena · 31. 01. 2011 00:05

↑ nibbio:

Zdravím,

je třeba se zabyvat goniometrickým tvarem komplexního čísla (my mám zatím algebraický)

za použití této úpravy $=\sqrt[16]{\frac{2\rm{i}(3-\rm{i})}{(3+\rm{i})(3-\rm{i})}}=\sqrt[16]{\frac{2+6\rm{i}}{10}}=\sqrt[16]{\frac{1}{5}+{\frac{3\rm{i}}{5}}$

algebraicky tvar $a+b\rm{i}={\frac{1}{5}+{\frac{3}{5}\rm{i}$ je treba upravit na goniometricky, odsud bude alfa.

doufám, že nemám chybu v úpravě, překontroluj, prosím.

nibbio · 31. 01. 2011 10:52

Ta úprava mi vyšla rovnako ako tebe, takze to by malo byt spravne.

Ak som to spravne pochopil tak dostanem 2 alfy ktore potom doplnim pre
$sin \alpha = \frac{b}{|z|}$ a $cos \alpha = \frac{a}{|z|}$
kde
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

a potom uz len dosadim do toho vzorca $z_k$ ?

jelena · 31. 01. 2011 11:25

↑ nibbio: věřím, že to bude správně.

Nedostaneme 2 alfy, ale dvě goniometrické funkce jedné alfy (sin(alfa), cos(alfa)).

Podle znamének a, b již v algebraickém tvaru se umíme rozhodnout, ve kterém kvadrantu se nachází komplexní číslo (nebo to doladíme podle sin, cos pro stejnou alfu).

Tedy hledej, prosím, jednu jedinou alfu.

nibbio · 31. 01. 2011 12:18

Takze mam hladat 1 alfu s 2 goniometrickymi funkciami?
Cize to pretym mam dobre len somsa zle vyjadril alebo je to zle a treba to inak riesit?

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2011 11:56

rovnice s imaginarnym i

#2 19. 01. 2011 12:48

Re: rovnice s imaginarnym i

#3 19. 01. 2011 13:13

Re: rovnice s imaginarnym i

#4 19. 01. 2011 13:59

Re: rovnice s imaginarnym i

#5 19. 01. 2011 14:00

Re: rovnice s imaginarnym i

#6 19. 01. 2011 14:40

Re: rovnice s imaginarnym i

#7 19. 01. 2011 14:57 — Editoval Dana1 (19. 01. 2011 15:01)

Re: rovnice s imaginarnym i

#8 19. 01. 2011 15:29

Re: rovnice s imaginarnym i

#9 19. 01. 2011 15:43

Re: rovnice s imaginarnym i

#10 19. 01. 2011 16:10 — Editoval Rumburak (19. 01. 2011 16:20)

Re: rovnice s imaginarnym i

#11 19. 01. 2011 16:14

Re: rovnice s imaginarnym i

#12 19. 01. 2011 16:17

Re: rovnice s imaginarnym i

#13 19. 01. 2011 16:31

Re: rovnice s imaginarnym i

#14 19. 01. 2011 16:33

Re: rovnice s imaginarnym i

#15 19. 01. 2011 16:33

Re: rovnice s imaginarnym i

#16 19. 01. 2011 16:46

Re: rovnice s imaginarnym i

#17 19. 01. 2011 17:32

Re: rovnice s imaginarnym i

#18 19. 01. 2011 17:35

Re: rovnice s imaginarnym i

#19 19. 01. 2011 18:08

Re: rovnice s imaginarnym i

#20 20. 01. 2011 12:00 — Editoval Rumburak (20. 01. 2011 12:05)

Re: rovnice s imaginarnym i

#21 30. 01. 2011 22:40

Re: rovnice s imaginarnym i

#22 31. 01. 2011 00:05

Re: rovnice s imaginarnym i

#23 31. 01. 2011 10:52

Re: rovnice s imaginarnym i

#24 31. 01. 2011 11:25

Re: rovnice s imaginarnym i

#25 31. 01. 2011 12:18

Re: rovnice s imaginarnym i

Zápatí