Matematické Fórum

Olin · 18. 01. 2011 15:54

Zdravím,

pokouším se připravovat na zkoušku z matematické analýzy. Četl jsem si, co se dělalo na přednášce, a strašně se mi nedařilo dokázat následující tvrzeníčko:

Buď $G \subseteq \mathbb{R}^n$ otevřená souvislá a $f:\,G \to \mathbb{R}$ zobrazení takové, že $\forall x \in G:\, f'(x) = 0$ . Pak je $f$ konstantní na G.

Bohužel si moc nepamatuji, jak se toto dokazovalo na přednášce, ovšem napadl mne trochu jiný důkaz, trochu kuriózní. Prosím o kontrolu:

Nejprve ukážeme, že $f$ je Darbouxovská. Kdyby totiž bylo $f(x)<a<f(y)$ pro nějaká $x, y \in G$ a zároveň $a \notin f(G)$ , tak $f^{-1}$(-\infty,\, a)$$ a $f^{-1}$(a,\, \infty) $$ tvoří disjunktní pokrytí $G$ dvěma otevřenými neprázdnými množinami - spor.

Snadno se (z nějaké věty o střední hodnotě nebo něčeho takového) ukáže, že v každé kouli $B \subseteq G$ musí být z podmínky $f'(x) = 0$ funkce konstantní. Jenže $\mathbb{R}^n$ má spočetnou bázi z koulí, tím pádem lze $G$ napsat jako spočetné sjednocení koulí. V každé této kouli je $f$ konstantní, tím pádem může $f$ na $G$ nabývat pouze spočetně mnoha hodnot. Ovšem darbouxovskost vynucuje, že funkce $f$ už nabývá $2^\omega$ hodnot, pokud nabývá nějakých dvou hodnot - spor.

check_drummer · 18. 01. 2011 17:25

A nešlo by aplikovat přímo větu o střední hodnotě? (f(a)-f(b))/(a-b)=f'(x) pro nějaké x mezi a,b (tím pro f(a)<>f(b) dostaneme f'(x)<>0 a spor.). a,b,x může být i-tá souřadnice příslušného bodu v prostoru Rn. (Tj. z vektoru (v1,..,vn) zkoumáme jen složku vi.) Taková i-tá souřadnice jistě bude existovat, pokud f(A)<>f(B) (zde A,B jsou už z Rn).

Olin · 18. 01. 2011 17:37

Vůbec nechápu. Děláš větu o střední hodnotě nějak po složkách a pak z toho vyvozuješ něco pro střední hodnotu mezi body v prostoru?

check_drummer · 18. 01. 2011 21:23

Použiju jen větu o střední hodnotě pro jednu nezávisle proměnnou (z R1).
Postup:
1) Pro spor nechť f(A)<>f(B). Pak existují odpovídající složky a,b vektorů A,B, že a<>b. Nechť jsou to složky s indexem "i".
2) Uvažujme body Y úsečky A-B, resp. jejich i-tou souřadnici y. Každému takovému bodu odpovídá hodnota f(Y) (označme ji f(y)). Tj. jsme náš problém převedli do řeči funkce jedné proměnné. Použijeme větu o střední hodnotě - existuje x, že f'(x)=(f(b)-f(a))/(b-a). Je tedy f'(x)<>0.
3) Z f'(x)<>0 plyne f'(X)<>0 (X je z Rn a leží na úsečce A-B), což je onen spor.
(Krok 3 je nutné dokázat formálněji.)

Olin · 19. 01. 2011 11:37

↑ check_drummer:
Obávám se, že tvůj postup vyžaduje, aby vyšetřovaná množina byla konvexní, jelikož spojuješ body A a B úsečkou.

Jinak již jsem z kolegových zápisků odhalil původní řešení: vzor jednobodové množiny v zobrazení f je určitě uzavřená množina, ovšem je taky otevřená (právě díky tomu, že v kouli musí být díky nulovosti derivace funkce konstantní a G je otevřená), ovšem jediné obojetná množiny v souvislé množině jsou prázdná nebo celá množina.

check_drummer · 19. 01. 2011 20:22

↑ Olin:
Pravda, nevšiml jsem si podmínky na G.

Tak jinak (a pravda volněji, možná jsem nechal nějaké slabé místo): zvolme cestu mezi A a B, která je dána souvislostí - nechť je parametrizována spojitou funckcí s(t), že s(0)=A,s(1)=B. Označme k=inf{t, f(s(t))<>f(A)}. Pak ale díky tomu, že (jak jsem psal minule pro konvexní množiny) na každém okolí B každého bodu, které leží v G, je f konstantní, bychom pro k>0 dostali spor (buď volbou k', kde s "opouští" toto okolí B, nebo případně pokud je s(0) přímo v tomto okolí). Pro k=0 zase dostaneme spor s tím, že f je v nějakém okolí s(0) konstantní.

Olin · 20. 01. 2011 11:11

↑ check_drummer:
To už zní lépe, jen mám pocit, že to vyžaduje dokonce obloukovou souvislost (existence "cesty").

Rumburak · 20. 01. 2011 14:00

↑ Olin:
Připadá mi, že Tvůj důkaz je v pořádku, navíc docela elegantní.

↑ Olin:
Je "oblouková" souvislost otevřené množiny G v R^n (totiž že libovolné dva navzájem různé body mn. G lze "spojit" lomenou čarou ležící v G)
něco silnějšího než obecná souvislost definovaná topologicky (prostor G je souvislý, právě když ho nelze vyjádřit jako disjunktní sjednocení
dvou svých neprázdných otevřených částí) ? Domnívám se, že ne.

Pavel Brožek · 20. 01. 2011 14:12

↑ Rumburak:

Myslím, že oblouková souvislost je silnější než jen souvislost, na wikipedii je i příklad.

Olin · 20. 01. 2011 14:20

↑ Rumburak: ↑ BrozekP:
Já mám poslední dobou pocit, že otevřená souvislá množina už by mohla být obloukově souvislá. Tedy, nikde jsem to nečetl ani neslyšel, pořádný důkaz ještě nemám, ale když si to představím, tak by to platit mohlo. Víte o tom někdo něco?

Pavel Brožek · 20. 01. 2011 14:39

↑ Olin:

Toto není dobrý protipříklad k tvrzení, že otevřená souvislá množina je zároveň obloukově souvislá?

Olin · 20. 01. 2011 14:54

↑ BrozekP:

Jistě, to asi funguje. Zkusím to tedy upřesnit: existuje otevřená souvislá množina v $\mathbb{R}^n$ , která není obloukově souvislá?

Stýv · 20. 01. 2011 14:54

↑ BrozekP: není, protože ta množina není otevřená. na komplexce jsme dokazovali, že pro otevřenou $\Omega\subset\mathbb C$ je souvislost a oblouková souvislost ekvivalentní. v $\mathbb{R}^n$ to myslím je analogický

Pavel Brožek · 20. 01. 2011 14:57

↑ Olin:, ↑ Stýv:

Omlouvám se, nějak jsem celou dobu přehlížel, že se bavíme o podmnožinách $\mathbb{R}^n$ .

Rumburak

↑ BrozekP: , ↑ Olin:
Je-li A graf funkce sin (1/x) a B uzávěr této množiny v R^2 (operace uzávěru přidá k množině A úsečku s krajními body [0,-1], [0,1]),
pak B je souvislá a nikoliv obloukově, to je pravda. Množina B je neprázdná uzavřená v R^2 a nemůže být zároveň otevřená v R^2,
to by pak prostor R^2 nebyl souvislý.
(B je samozřejmě otevřená a zároveň i uzavřená sama v sobě, což je triviální vlastnost každého topologického podprostoru).

Pokusím se dokázat, že otevřená souvislá množina v ${\mathb {R}}^n$ je obloukově (=křivkově) souvislá.

Mějme neprázdnou množinu $G$ otevřenou v ${\mathb {R}}^n$ , která je navíc souvislá (případ prázdné pnožiny je triviální).
Pro $c \in G$ položme

$A(c) \,:= \{x\in G \,; \,\text{body}\,\,c,\,x \,\,\text{lze spojit obloukem v}\,G\}$ .

$B(c) \,:= \{x\in G \,; \,\text{body}\,\,c,\,x \,\,\text{NELZE spojit obloukem v}\,G\}$ .

Využijeme-li předpokladu o otevřenosti a neprázdnosti množiny $G$ a faktu, že koule je obloukově souvislá, pak snadno nahlédneme,
že množina $A(c)$ je otevřená v ${\mathb {R}}^n$ i v $G$ , navíc neprázdná.
Jestliže $x \in B(c)$ , pak pro každou otevřenou kouli $K(x)$ (x je střed) ležící v $G$ zároveň platí, že $K(x)\subset B(c)$ , jinak bychom
prostřednicvím vhodného bodu $y \in K(x)\cap A(c)$ snado sestrojili oblouk z $c$ do $x$ v $G$ (opět zde využíváme obloukovou souvislost koule).
Tedy rovněž $B(c)$ je otevřená v ${\mathb {R}}^n$ i v $G$ .

Předpokládejme, že množina $G$ není obloukově souvislá. Potom existují body $u, \,v \in G$ , které nelze spojit obloukem v $G$ .
Tedy $v \in B(u)$ . Potom ale $G = A(u)\cup B(u)$ , kde $A(u), \,B(u)$ jsou neprázdné otevřené v $G$ , $A(u)\cap B(u) = \empty$ .
To je ovšem ve sporu s předpokladem o souvislosti množiny $G$ .

Souvislá otevřená množina v ${\mathb {R}}^n$ je tedy obloukově souvislá. Obrácená implikace je, myslím, celkem snadná.

EDIT. Za tu dobu, co jsem to vyťukával (včetně vymýšlení) je to již, jak vidím, jasné. Nicméně důkaz už tu nechám, třeba jen proto,
aby v něm někdo případně našel chybu :-) .

Olin · 20. 01. 2011 22:43

↑ BrozekP:
V pořádku, já svůj výrok původně myslel o obecném metrickém prostoru, díky za vyvedení z omylu. Právě jsem se příliš soustředil na to $\mathbb{R}^n$ .

↑ Rumburak:
Díky, myslím, že ten důkaz je zcela v pořádku.

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2011 15:54

Nulová derivace implikuje konstantnost

#2 18. 01. 2011 17:25

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#3 18. 01. 2011 17:37

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#4 18. 01. 2011 21:23

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#5 19. 01. 2011 11:37

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#6 19. 01. 2011 20:22

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#7 20. 01. 2011 11:11

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#8 20. 01. 2011 14:00

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#9 20. 01. 2011 14:12

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#10 20. 01. 2011 14:20

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#11 20. 01. 2011 14:39

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#12 20. 01. 2011 14:54

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#13 20. 01. 2011 14:54

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#14 20. 01. 2011 14:57

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#15 20. 01. 2011 16:15 — Editoval Rumburak (20. 01. 2011 16:32)

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

#16 20. 01. 2011 22:43

Re: Nulová derivace implikuje konstantnost

Zápatí