Matematické Fórum

Ceeper · 22. 01. 2011 16:30

Ahoj,
Potreboval bych nejakym zpusobem poradit, jak z matice vypocitat jeji vlastni vektory. Vlastni cisla zvladam, ale s vektorama ne a ne hnout.
Par prispevku ohledne toho uz sem nasel, ale ze bych to z nich pochopil, se rict neda... Slo by postup rozepsat jak pro maly dite? :)

Napriklad matice
62
23
ma vlastni cisla 7 a 2. Kudy na vektory?

Diky moc

Stýv · 22. 01. 2011 16:33

wikipedii jsi zkusil? mně to tam přijde popsaný opravdu jasně

Ceeper · 22. 01. 2011 16:42 — Editoval Ceeper (22. 01. 2011 16:43)

Zkusil a vazne mi to tam nic nerika...
Je tam krasnej priklad, kde matici (1 -1/2 -2) nasobej vektorem u1 a vysledek se rovna 0. A hned na dalsim radku je, ze u1=(2/2). Pisu to takhle, ale nemyslim tim zlomky. V tom si rozumime :)
Nemam sajn, kde vzali vysledek.

Normalne bych to bral jako 0/matice, ale to je blost

gladiator01

↑ Ceeper:
Jestli ti nestačí wikipedie.

Výpočet vlastních vektorů:
$$\begin{matrix}6 & 2 \nl 2 & 3 \end{matrix}$$
Vlastní čísla: $\lambda_1=7$ a $\lambda_2=2$

1. Vezme si charakteristickou rovnici ( $A-\lambda E=0$ )ze, které jsem vypočítali vlastní čísla
$$\begin{matrix}6-\lambda & 2 \nl 2 & 3-\lambda \end{matrix}$=0$

2. Dosadíme nejdříve jedno vlastní číslo a spočítáme kořeny a pak druhé vl. číslo a znova kořeny.
Pro $\lambda_1=7$
$$\begin{matrix}-1 & 2 \nl 2 & -4 \end{matrix}$$ a spočítáme kořeny.

Upravíme gauss. eliminací:
$$\begin{matrix}-1 & 2 \nl 0 & 0 \end{matrix}$$
Jeden řádek nám vypadl, zavedeme tedy parametr t.

Pro názornost označím sloupce:
$$\begin{matrix}-1 & 2 \nl 0 & 0 \nl --&-- \nl a & b=t\end{matrix}$$
(a,b - proměnné, t - parametr)
$b=t \nl -a+2t = 0 \rightarrow a=2t$

a máme výsledek: 1. vlastní vektor $v_1=t(2,1)$
--------------------------------------------------

Pro $\lambda_1=2$
$$\begin{matrix}4 & 2 \nl 2 & 1 \end{matrix}$$
Upravíme gauss. eliminací:
$$\begin{matrix}2 & 1 \nl 0 & 0 \end{matrix}$$
Jeden řádek nám vypadl, zavedeme tedy parametr g.

$b=t \rightarrow 2b=2t\nl 2a+t=0 \rightarrow 2a=-t$ Vynásobily jsem dvěma abychom nemuseli psát zlomky (a=-1/2).

a máme výsledek: 2. vlastní vektor $v_2=g(-1,2)$

Těch vektorů je samozřejmě nekonečně mnoho, protože za parametry g a t si můžeme dosadit jakékoliv číslo.
------------------------------
Pro ověření wolframAlpha.

Ceeper · 22. 01. 2011 17:15 — Editoval Ceeper (22. 01. 2011 17:16)

Tohle je hezky vysvetleny, diky :)
Jen bych mel dotaz k poslednimu kroku vypoctu.
Prvni vektor ti vysel (2,1). Kde se vzala dvojka, je jasny. Ale ta jednicka? Tam je mysleno jako 1a?

gladiator01

↑ Ceeper:
v1 = (a,b) -> dosadím hodnoty -> v1 = (2t,t) -> vytknut t -> v1=t(2,1)

V podstatě řešíš soustavu rovnic s parametrem, to jste se učili ne?

Ceeper · 22. 01. 2011 17:24 — Editoval Ceeper (22. 01. 2011 17:24)

Je to dost mozny, ale jestli je nejakej predmet, na kterej jsem totalne levej, tak je to matika. Odborny jsou v pohode, ale v matematice nechutne plavu.
Takze me ceka hodne prace (a mozna par dalsich topicu) nez se to naucim, kazdopadne jeste jednou diky za nakopnuti.

gladiator01 · 22. 01. 2011 17:28

Není zač. Označ téma za vyřešené.

witc · 15. 01. 2013 12:44 — Editoval witc (15. 01. 2013 12:50)

Co kdyz mam matici $(\begin{matrix}0 & -3 &0 \\ 1 & 0&1\\0&3&0 \end{matrix})$ z toho muzu vyskrtnout posledni radek. a ted mam k tomu v sesite $\vec{k}=(\begin{matrix}1 \\ 0\\-1 \end{matrix})$ a to uz nevim jak se z toho dostalo kdyz me v matici nezbyl jen jeden radek, ale hned dva!!

Díky za rady

Stýv · 15. 01. 2013 13:02

TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ!
Pokud si nejste jisti, že Váš příspěvek navazuje na diskusi v tomto tématu, založte si prosím téma vlastní.

čemu jsi na tom nerozuměl? založ si vlastní téma ve správný sekci.

ps: doporučoval bych zeptat se nějak srozumitelněji

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2011 16:30

Vlastní vektory matice polopatě

#2 22. 01. 2011 16:33

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#3 22. 01. 2011 16:42 — Editoval Ceeper (22. 01. 2011 16:43)

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#4 22. 01. 2011 17:06 — Editoval gladiator01 (22. 01. 2011 17:12)

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#5 22. 01. 2011 17:15 — Editoval Ceeper (22. 01. 2011 17:16)

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#6 22. 01. 2011 17:19 — Editoval gladiator01 (22. 01. 2011 17:21)

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#7 22. 01. 2011 17:24 — Editoval Ceeper (22. 01. 2011 17:24)

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#8 22. 01. 2011 17:28

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#9 15. 01. 2013 12:44 — Editoval witc (15. 01. 2013 12:50)

Re: Vlastní vektory matice polopatě

#10 15. 01. 2013 13:02

Re: Vlastní vektory matice polopatě

Zápatí