Matematické Fórum

piiity · 22. 01. 2011 17:41

Počet všech kořenů rovnice $sin(x+\frac\pi6) = \frac{\sqrt2}2$
Mohl by mi prosím někdo vysvětlit jak počítat tento typ rovnice?
Výsledek má být jedna, ale netuším jak. Substitucí jsem k tomu nedošel.
Děkuji

teolog · 22. 01. 2011 17:43 — Editoval teolog (22. 01. 2011 17:43)

↑ piiity:
Dokázal byste vyřešit tuto rovnici: $\sin x=\frac{sqrt2}{2}$ ?

piiity · 22. 01. 2011 18:35

↑ teolog:
Dokázal, ale mám zadaný interval $<0,2\pi)$
ale sinus v tomto intervalu má dva kořeny pokud počítám správně:
$x_1=\frac14\pi$ a $x_2=\frac34\pi$ , protože sinus je kladný v I. A II. kvadrantu, ale
ve výsledcích mám jen 1 kořen.

teolog · 22. 01. 2011 18:57

↑ piiity:
Tak pokud toto umíte, tak stačí použít substituci $a=x+\frac{\pi}{6}$ a řešit rovnici $\sin a=\frac{\sqrt2}{2}$ .

Dana1 · 22. 01. 2011 19:00

↑ teolog:

Myslím, že majú byť 2 riešenia - a aké je to 1 riešenie?

piiity · 22. 01. 2011 19:03

↑ Dana1:
To bohužel nevím, mám zde jen možnosti A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 a E) nic z toho předešlého a ve výsledku je jen B.

teolog · 22. 01. 2011 19:12 — Editoval teolog (22. 01. 2011 19:14)

↑ piiity:

$\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$
$a=x+\frac{\pi}{6}$

$\sin a=\frac{\sqrt2}{2}$
$a_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi$
$a_2=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$

1) $x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}+2k\pi$
$x=\frac{\pi}{12}+2k\pi$

2) $x+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{4}+2k\p$
$x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi$

Pokud je $x\in<0,2\pi)$ , pak vidím dva kořeny.

I graf ukazuje dva kořeny.