Matematické Fórum

Ahojte, prosím vás, potrebovala by som zistiť pozitívnu, negatívnu definitnosť alebo pozitívnu, negatívnu semidefinitnosť nejakej kvadratickej formy.
Tvrdila som jednému profesorovi, že z nezápornosti subdeterminantov (teda aspoň jeden subdeterminant by sa mal rovnať 0, ak dobre rozumiem) matice kvadratickej formy vyplýva kladná semidefinitnosť kvadratickej formy. A on mi zadal úlohu, aby som svoje tvrdenie buď podložila dôkazmi alebo našla kontrapríklad, čiže nájsť takú kvadratickú formu, kde by sa žiadny subdeterminant matice nerovnal 0 a súčasne by bola táto kvadratická forma pozitívne semidefinitná.
Prosím, neviete niekto, či naozaj platí to, že ak sú subdeterminanty matice nezáporné, či z toho už vyplýva, že kvadratická forma je pozitívne semidefinitná alebo môže existovať aj taká kvadratická forma, ktorej subdeterminanty nebudú nulové a zároveň bude táto kvadratická forma pozitívne semidefinitná?
Lebo som našla na internete, že ak je sú subdeterminanty matice kladné, tak z toho už vyplýva pozitívne definitnosť...
A pomýlilo ma aj to, že keď určujeme pomocou Hessovej matice (druhé derivácie) lok. extrémy, tak tiež sme to brali tak, že ak nám vyjde nejaký subdeterminant Hessovej matice nulový, tak sa nedá zistiť definitnosť matice a tým pádom sme museli zvoliť iný spôsob na zistenie extrémov...
Zakaždým som však skúsila vytvoriť maticu, ktorej minimálne jeden subdeterminant bol nulový, vždy som dostala pozitívne semidefinitnú maticu. Prosím vás o pomoc :-) Dúfam, že je zrozumiteľné to, čo píšem...

Čiže v krátkosti, potrebujem dokázať toto:   "Štvorcová symetrická matica má nezáporné subdeterminanty <=> štvrocová symetrická matica je pozitívne semidefinitná"

Tu:

http://www....kasr.elf.stuba.sk/predmety/optim/texty%20a%20priklady/VlastnostiMatice2_2ext.pdf

a 

http://www.fhi.sk/files/katedry/kove/pr … ovania.pdf


píše sa tu: Definícia 3.6 Matica C je kladne semidefinitná, ak sú všetky hlavné subdeterminanty matice nezáporné.
Ja by som potrebovala vedieť, či toto platí, resp. či to platí aj opačne, že ak sú hlavné subdeterminanty matice nezáporné, či z toho vyplýva kladná semidefinitnosť matice.

Vymýšľala som si rôzne kvadratické formy, ktoré som prepísala do matice. Keď mi vyšiel niektorý subdeterminant nulový, tak vždy bola matica pozitívne semidefinitná (overovala som to vlastnými hodnotami).
Chcem nájsť takú symetrickú štvorcovú maticu, ktorej žiaden subdeterminant nebude nulový a zároveň to bude pozitívne semidefinitná matica. To by bol dôkaz toho, že z nezáporných subdeterminantov matice kvadratickej formy nevyplýva pozitívna semidefinitnosť.

Môžem sem hodiť matice, ktoré som vytvorila, ale všetky majú niektorý subdeterminant nulový a zároveň aj vyšli pozitívne semidefinitné, napr. 2x^2+y^2+3xy.  Tu je prvý subdeterminant rovný 2, druhý subdeterminant rovný 0 a vlastné hodnoty matice vyšli 0, 3, z čoho vyplýva pozitívna semidefinitnosť.