Matematické Fórum

pettka · 20. 10. 2007 14:32

prosim o pomoc s vyřešeím těchto příkladů v R
eˇ3x=2
2ˇ(3x+1)=5
sin(x+1)=pí/4
arctg(x+1)=2
odmocnina z xˇ2 + odmocnina z x=2
děkuji

Lishaak

$e^{3x} = 2 \nl e^{3x} = e^{\ln{2}} \nl 3x = \ln{2} \nl x = \frac{\ln{2}}{3}$
$2^{3x+1} = 5 \nl 2^{3x+1} = 2^{\log_{2}{5}} \nl 3x+1 = \log_{2}{5} \nl x = \frac{\log_{2}{5} - 1}{3}$

Dalsi reseni za chvilku

Lishaak

Treti priklad:

to x+1 uvnitr sinu zatim budem chapat jako celek (muzem treba polozit substituci y=x+1 a pocitat zatim s ypsilonem). Cili mame rovnici

sin(y) = pi/4

Hodnota pi/4 lezi nekde uvnitr intervalu (0, 1), takze jedno reseni bude urcite v prvnim kvadrantu. To vyjadrime jednoduse takto

y = arcsin(pi/4). Vysledek uz nam rekne kalkulacka, ja to necham tak.

Druhe reseni bude v druhem kvadrantu. Snadno se nahledne, ze vypada takto:

y = pi - arcsin(pi/4).

Takze mame dve reseni. V intervalu <0, 2pi> uz zadne jine nenajdeme (cviceni: zamysli se proc). Ted uz se vratime k puvodni promenne x:

x + 1 = arcsin(pi/4) tedy x = arcsin(pi/4) - 1
x + 1 = pi - arcsin(pi/4) tedy x = pi - 1 - arcsin(pi/4)

Protoze funkce sinus je funkce periodicka, budou se nam tyto dve reseni opakovat s periodou 2pi. Cili vsechna reseni (kterych je nekonecne mnoho) zapiseme takto:

$x = 2k\pi + \arcsin(\pi /4) - 1 \nl x = 2k\pi + \pi - 1 - \arcsin(\pi /4)$

Kde k je nejake prirozene cislo

Lishaak

Cvrty priklad:

Jelikoz arctg je prosta funkce, reseni bude nastesti jenom jedno. Jelikoz arctg je funkce inverzni k funkci tg na intervalu <-pi, pi>, muzem naprosto beze strachu udelat toto:

arctg(x+1) = 2
x + 1 = tg(2)
x = tg(2) - 1

Paty priklad:

Zadani chapu takto: $\sqr{x^2} + \sqr{x} = 2$
Prepiseme si ho takto: $x + \sqr{x} = 2 \nl \sqr{x} = 2 - x$

Ted si dovolim neekvivalentni upravu a umocnim obe strany rovnice na druhou. No co, proste budem muset na konci udelat zkousku...
Vyjde nam $x = (2 - x)^2 \nl x = 4 - 4x + x^2 \nl x^2 - 5x + 4 = 0$

Resenim jsou hodnoty 1 a 4. Ihned vidim, ze cislo ctyri puvodni rovnici nevyhovuje, cili resenim je cislo x=1

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2007 14:32

rovnice v R

#2 20. 10. 2007 17:09 — Editoval Lishaak (20. 10. 2007 17:16)

Re: rovnice v R

#3 20. 10. 2007 17:32 — Editoval Lishaak (20. 10. 2007 17:36)

Re: rovnice v R

#4 20. 10. 2007 17:40 — Editoval Lishaak (20. 10. 2007 17:59)

Re: rovnice v R

Zápatí