Matematické Fórum

inter · 23. 01. 2011 11:43 — Editoval inter (23. 01. 2011 13:03)

Prosím o pomoc s vyřešením rovnice pomocí cardanových vzorců. děkuji

teolog · 23. 01. 2011 11:46

Nebudu. A nejen kvůli tomu, že žádnou rovnici nemám. A vymýšlet si vlastní, jaký by to mělo smysl?

inter · 23. 01. 2011 11:55

Došla jsem k tomu, že D je menší jak 0. V tom případě by mi měly vyjít 3 reálné kořeny. Ale jak mám pokračovat dál?

jelena · 23. 01. 2011 12:03

↑ inter:

Zdravím, toto zadání se vážně požaduje řešit pomocí Cardano vzorců? Děkuji.

Dioxid · 23. 01. 2011 12:11

↑ inter:
Nemusí se na to jít zrovna takto složitě. Je vidět, že absolutní člen v $x^3-7x^2+6x$ je 0, proto je jedním z kořenů x=0.
Vydělíme $(x^3-7x^2+6x)/(x-0)$ a získáme rovnici $x^2-7x+6=0$ , kterou snadno vyřešíme.

inter · 23. 01. 2011 12:18

Problém je v tom že tuto úlohu mám vyřešit pomocí právě cardanových vzorcu..

Dioxid · 23. 01. 2011 12:30

↑ inter: Když budu citovat literaturu...

Pro D<0 má kubická rovnice s reálnými koeficienty tři reálné kořeny. Tyto kořeny v reálném tvaru nelze pomocí Cardanových vzorců najít.

Dají se ale najít jiným způsobem... ale to zas není to Cardanovo řešení...

inter · 23. 01. 2011 12:31

No dobře v tom případě, pokud mám takovou úlohu tak napíšu že není možné vyřešit pomoci Cardanových vzorů a řeším jakým způsobem?

Dioxid · 23. 01. 2011 12:35

↑ inter: Zrovna tato rovnice se dá řešit tímto způsobem, který je relativně jednoduchý. Obecně se dá řešit goniometrickým řešením.

inter · 23. 01. 2011 12:36

Jo a mě by zajímalo goniometrické řešení :) můžete mi poradit?

Dioxid · 23. 01. 2011 12:40

↑ inter: Ano, opíšu ho sem, ale bude to chvíli trvat, než jej hezky vysázím

(píšu to, aby se s tím nedělal někdo jiný a práce potom nepřišla nazmar)

teolog · 23. 01. 2011 12:48

↑ inter:
Jen bych chtěl dodat, že ta operace vydělení polynomu výrazem (x-0) je vlastně vytknutí x (v tomto konkrétním případě).

A ještě bych chtěl vysvětlit svůj první příspěvek v tomto tématu. Nenarážel jsem ani tak na opomenutí vložení samotné rovnice. To se stane. Ale vadil mi Váš styl komunikace. Vy potřebujete pomoci a v podstatě žádáte cizí lidi, aby Vám věnovali zadarno svůj volný čas. V takovém případě bych očekával komukaci ve stylu:
Dobrý den, prosím o pomoc s tímto příkladem...

Takové štěkání rozkazů typu vyřešte rovnici opravdu nemám rád.

Tak to jen tak na vysvětlenou.
Ať se daří (i s goniometrickým řešením, na které se sám těším)

Dioxid · 23. 01. 2011 12:49

Pro $\varphi$ platí $cos\left (\varphi)=\frac{-\frac{q}{2}}{\sqrt{\left ( \frac{\left | p \right |}{3} \right )^3}}$ , kde p a q jsou označení stejná jako byly použity v příspěvku výše.

Kořeny potom získáme takto:
$x_1=2\sqrt{\frac{\left | p \right |}{3}}\cdot cos( \frac{\varphi}{3})$
$x_2=-2\sqrt{\frac{\left | p \right |}{3}}\cdot cos( \frac{\varphi}{3}-\frac{ \pi }{3})$
$x_3=-2\sqrt{\frac{\left | p \right |}{3}}\cdot cos( \frac{\varphi}{3}+\frac{ \pi }{3})$

Toto řešení jsem ale zatím ještě nepoužil, takže kdyžtak poradí někdo, kdo již má zkušenost...

inter · 23. 01. 2011 12:53

No spíše když jsem zakládala toto téma, tak jsem si myslela že tam mám napsat popis, ne už zadání. proto jsem tam hodila jenom jednu větu...

Samozřejmě že jsem vděčná kdo mi pomůže.. ;)

inter · 23. 01. 2011 19:39

Tudíž kdybych vydělila tuto rovnici (x-0) tak bych dál mohla řešit tuto rovnici cardanovými vzorci? nebo ne?

Dioxid · 23. 01. 2011 20:00

↑ inter:
Když označíme x_1, x_2, x_3 kořeny té kubické rovnice, tak zápis
$x^3-7x^2+6x=0$
se dá nahradit tímto:
$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$

Když si ale všimneš, že $x_1=0$ , tak dostáváš:
$(x-0)(x-x_2)(x-x_3)=0$ , což odpovídá $x(x^2-7x+6)=0$

A stačí už jen vyřešit kvadratickou rovnici, kterou bych pomocí Cardanových vzorců neřešil.

inter · 23. 01. 2011 21:34

To je vše celkem jednoduché, když se člověk teď na to dívá. Jenomže úkol zněl řeš pomocí Cardanových vzorcu a ukaž že tato řešení jsou celá čísla! Tudíž si myslím že řešení nebude tak jednoduché! Nemyslíš?

teolog · 23. 01. 2011 21:53

↑ inter:
Řešení pomocí vytknutí x a následném vyřešení obyčejné kvadratické rovnice je hodně jednoduché.
Pokud Vás učitel nutí použí Cardanovy vzorce, tak nevybral zrovna nejlepší zadání. Jak vysvětlit studentům, že mají použít dost komplikovanou metodu, když to jde tak jednoduše, že?

Dioxid · 23. 01. 2011 21:55

↑ inter: Kdyby už někdo trval na Cardanových vzorcích, tak bych pomocí nich určil, že řešením jsou 3 reálná čísla a některým z postupů výše bych je zjistil. Množinou kořenů je {0;1;6}.

Píše se tam řeš pomocí Cardanových vzorců, nikoliv urči kořeny rovnice pomocí Cardanových vzorců. V postupu, který jsem napsal o pár řádků výše skutečně použijeme Cardanovy vzorce (ale kořeny zjistíme jinak). To, že 0, 1 a 6 jsou čísla celá bych snad považoval za jasné. Takto jsme tedy postupovali přesně podle zadání :)

inter · 23. 01. 2011 22:08

Tak to jsem zvědavá jestli to bude dobrý postup. Snad jo. Díky za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2011 11:43 — Editoval inter (23. 01. 2011 13:03)

cardanovy vzorce

#2 23. 01. 2011 11:46

Re: cardanovy vzorce

#3 23. 01. 2011 11:55

Re: cardanovy vzorce

#4 23. 01. 2011 12:03

Re: cardanovy vzorce

#5 23. 01. 2011 12:11

Re: cardanovy vzorce

#6 23. 01. 2011 12:18

Re: cardanovy vzorce

#7 23. 01. 2011 12:30

Re: cardanovy vzorce

#8 23. 01. 2011 12:31

Re: cardanovy vzorce

#9 23. 01. 2011 12:35

Re: cardanovy vzorce

#10 23. 01. 2011 12:36

Re: cardanovy vzorce

#11 23. 01. 2011 12:40

Re: cardanovy vzorce

#12 23. 01. 2011 12:48

Re: cardanovy vzorce

#13 23. 01. 2011 12:49

Re: cardanovy vzorce

#14 23. 01. 2011 12:53

Re: cardanovy vzorce

#15 23. 01. 2011 19:39

Re: cardanovy vzorce

#16 23. 01. 2011 20:00

Re: cardanovy vzorce

#17 23. 01. 2011 21:34

Re: cardanovy vzorce

#18 23. 01. 2011 21:53

Re: cardanovy vzorce

#19 23. 01. 2011 21:55

Re: cardanovy vzorce

#20 23. 01. 2011 22:08

Re: cardanovy vzorce

Zápatí