Matematické Fórum

jamesr · 12. 05. 2008 11:27

Nedaleko města A vede železniční tra? (mající tvar přímky) do města B. Pod jakým úhlem
k železniční trati je třeba z města A vybudovat (přímou) silniční přípojku, aby doprava
z města A do města B (po silnici a dále po železnici) byla co nejlevnější, jestliže doprava
po silnici je dvakrát dražší než po železnici?

Je to příklad na extrémy, to je jasné. Graficky to bude vypadat jako trojúhelník. Ale nedokážu si nic vyjádřit pro derivaci... resp. dokážu ale mám spousty proměnných. Za nějaký tip jak vypočítat, budu rád. Díky

Tomsus · 12. 05. 2008 12:03

Hehe, tak jsem to zkusil narychlo napsat, hodil jsem to do Mathematiky ke zderivovani a najiti extremu, a vyjelo mi to tohle :-)

$\left\{\left\{a\to \text{ArcCsc}\left[\frac{2 x \sqrt{r^2-x^2}-\sqrt{-3 r^4+7 r^2 x^2-4 x^4}}{3 \left(r^2-x^2\right)}\right]\right\},\left\{a\to \text{ArcCsc}\left[\frac{2 x \sqrt{r^2-x^2}+\sqrt{-3 r^4+7 r^2 x^2-4 x^4}}{3 \left(r^2-x^2\right)}\right]\right\}\right\}$

Kde a je uhel, r vzdalenost mezi mesty a x delka kolmice od trati do mesta A.
Pravdepodobnost spravnosti vysledku tipuji asi tak na 5% :-)
Jen jsem chtel ukazat, jak clovek zlenivi za tech par dni, co ma Mathematiku a derivace a hledani extremu necha na chudakovi pocitacovi - stejne tak asi brzy dopadnu s integrovanim :-/

robert.marik

a je delka kolmice z mesta A k zeleznici, L je delka od paty kolmice do mesta B, alpha je uhel mezi kolmici a silnici, b je usek mezi patou kolmice a krizovatkou silnice s zeleznici, c je delka silnice.

vznikne pravouhly trojuhelnik s odvesnami a,b a preponou c,
hledame minimum funkce 2*p*c+(L-b)*p kde p je cena za prepravu po zeleznici na vzdelanost jedne jednotkove delky

c=a/cos(alpha) b=a*tan(alpha)

2*p*c+(L-b)*p = p*( a/cos(alpha) - a tan(alpha) + L)

staci tedy najit minimum funkce 1/cos(alpha) - tan(alpha) a to mi vychazi pi/6

Je to narychlo, omlouvam se za upravu, doufam ze tam nejsou chyby

jamesr · 12. 05. 2008 18:11

diky, vecer nakreslim, spocitam a napisu jestli se povedlo i me :)

jamesr · 13. 05. 2008 14:08

Tak jsem to spočítal, vytratila se ti tam 2 pri vytykani takze ma byt 2/cos... nicméně mi to taky vyšlo pi/6. Ještě jednou díky ;)

medvidek · 15. 12. 2009 00:31

Úlohy tohoto typu - nalezení optimální trajektorie s nejkratším časem, nejnižší cenou, spotřebou atd. lze často vyřešit velice rychle, uvědomíme-li si analogii s úlohami geometrické optiky na zákon lomu (Snellův zákon). Tento zákon lze totiž chápat jako důsledek platnosti Fermatova principu (nebo obecněnji princiu nejmenší akce). Odvození Snellova zákona z Fermatova princiu vlastně spočívá v nalezení extrému funkce vzhledem k možným trajektoriím.

Pro připomenutí zde uvedu Snellův zákon popisující lom paprsku při přechodu z jednoho prostředí do druhého (http://cs.wikipedia.org/wiki/Snell%C5%AFv_z%C3%A1kon):

$\frac{sin\alpha_1}{sin\alpha_2}=\frac{n_2}{n_1}$ kde alpha_1,2 jsou úhly dopadu resp. lomu, n_1,2 jsou indexy lomu 1. resp. 2. prostředí.

A jaká je zde analogie s naší úlohou? V optice poměr n_2/n_1 udává, kolikrát je rychlost paprsku v prostředí 2 nižší než v prostředí 1. V této konkrétní úloze to bude poměr cen jízdného po železnici a po silnici, tj. 0,5. Po přechodu do 2. prostředí se pohybujeme podél rozhraní (viz obrázek), tedy alpha_2 = pi/2. Po dosazení dostaneme

$sin\alpha_1=0,5$
$\alpha_1=\pi/6$

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2008 11:27

extrémy

#2 12. 05. 2008 12:03

Re: extrémy

#3 12. 05. 2008 13:08 — Editoval robert.marik (12. 05. 2008 13:09)

Re: extrémy

#4 12. 05. 2008 18:11

Re: extrémy

#5 13. 05. 2008 14:08

Re: extrémy

#6 15. 12. 2009 00:31

Re: extrémy

Zápatí