Matematické Fórum

unk.cory · 24. 01. 2011 17:53

Zdravím,
mám zítra zkoušku, a opakuji si. ale jak se mi vykouřilo z hlavy, jak se postupuje při výpočtu bodů nespojitosti. Jak je naleznu, to vím. Ale výpočet limity když to jde zprava/zleva, to už tápu. Dám příklad:

Děkuji.

Oxyd · 24. 01. 2011 18:21

Zajímá tě tedy chování v bodě x = 0, že? Konkrétně limita $\lim_{x \to 0} \frac{ x^2 + 3x - 10 }{ x^2 + 4x }$ . Čitatel jde k -10, ať jde x k nule zprava nebo zleva, tam není problém. Otázka je, co dělá jmenovatel? Blíží se zprava nebo zleva?

Kdy je jmenovatel kladný a kdy záporný se dá určit poměrně snadno: vyřešením nerovnice $x^2 + 4x > 0$ . Ta je ekvivalentní nerovnici $x(x + 4) > 0$ , která platí pokud je x > 0 nebo x < -4.

Protože teda pro x > 0 platí, že jmenovatel je kladný, dá se usoudit, že pokud se x blíží nule zprava, tzn. kladnými hodnotami, jde celý zlomek k minus nekonečnu (minus protože v čitateli je -10). Symbolicky $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = -\infty$ .

Když je x < 0 ale zároveň je x > -4, tak je jmenovatel záporný. To ale existuje nějaké levé okolí nuly, na kterém je jmenovatel záporný -- na tomhle okolí je tedy celý zlomek kladný a jak se jmenovatel blíží k nule, tak roste do nekonečna. Odtud, $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = +\infty$ .

Z toho taky plyne, že oboustranná limita neexistuje.

unk.cory · 24. 01. 2011 18:36

Takže chápu-li dobře, tak si bod, který zjištuji, teď tedy x=0, dosadímv čitateli za x a zjistím jaký bude čitatel. Ten bude -10, a pak když se blíží k 0 zprava, tedy nějaká kladná hrozně malinká čísla blízko nule, tak v čitateli to bude stále záporné, protože tam máme -10. A ve jmenovateli to bude kladné s malinkýma číslama blízké nule. Tudíž bude limita k -nekonečnu.

Když pro 0 zleva, tak budou za x doszeny záporná malinká čísla blízké nule, tudíž čitatel bude záporný a ve jmenovateli budou malinká záporná čísla blízká nule, tudíž bude limita +nekonečno.

Pochopil jsem dobře ?

Dále tedy pak bude limita ještě pro -4 zleva/zprava a postup bude stejný ? Ale výsledek nemůže vždy být +-nekonečno, může být klidně i 0 apod. ?

unk.cory · 24. 01. 2011 18:50

Možná by mi pomohlo, kdyby jsi mi to napsal, prosím, polopaticky. Jako, že při dosazování za x, tak 0+ je 0,00001 , a jak z toho celýho zjistím, že to pak bude těch -nekonečno.

Díky. Jsem zmatený, a potřebuju takový ten detailní návod.

Oxyd · 24. 01. 2011 19:02

unk.cory napsal(a):
Takže chápu-li dobře, tak si bod, který zjištuji, teď tedy x=0, dosadímv čitateli za x a zjistím jaký bude čitatel.

Tady je ale třeba dát si pozor, že jsem do čitatele mohl x = 0 dosadit jenom díky tomu, že je čitatel spojitý v x = 0. Navíc mi vyšla -10, takže když x bude hodně blízko nuly, tak čitatel bude hodně blízko minus desítky -- takže bude záporný. Problém by nastal, kdyby čitatel nebyl spojitý v x = 0 (třeba by v čitateli byl další zlomek, nebo nějaká nehezká funkce) nebo kdyby se taky blížil k nule.

Jinak ano, chápeš to dobře. Jenom chci říct, že nějaký „univerzální postup“ se asi vymyslet nedá a je třeba se zamyslet příklad od příkladu.

Pro x = -4 to bude v zásadě totéž, ano.

Ta limita může obecně vyjít jakkoliv, nebo taky nemusí existovat vůbec. Například $\lim_{x \to 1} \frac{ x^2 - 3x + 2}{ x^2 - 4x + 3} = \frac12$ .

Jako, že při dosazování za x, tak 0+ je 0,00001 , a jak z toho celýho zjistím, že to pak bude těch -nekonečno.

Dosazování hodnot z malého okolí není tak úplně správně. Ale představu o limitě ti to dá, to ano. Když si za x dosadíš 0.00001, tak ti výjde asi -250 000, když si tam dosadíš 0.000000001, tak to bude -2 500 000 000. (Pokud správně opisuju z kalkulačky.) To by ti mohlo napovědět, že čím blíž je x-ko nule, tím je hodnota f(x) menší.

Nevím jestli u vás je postup s dosazováním malých hodnot přípustný nebo ne. Matematicky to úplně správně není a je třeba odvodit si, co se k čemu blíží, jak sem naznačil v předchozím příspěvku.

unk.cory · 24. 01. 2011 20:19

No každopádně děkuji. Snad to dám dohromady.

unk.cory · 25. 01. 2011 17:05

Tak zkouška nakonec za 3. Spojitosti vyřešeny taky :-) Díky.

jelena · 25. 01. 2011 23:15

↑ unk.cory:

Gratuluji a hodně dalších úspěchů přeji :-)

Děkuji kolegům v tématu za pomoc a téma označím za vyřešené.

unk.cory · 26. 01. 2011 13:58

↑ jelena: Děkuji. :-)

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2011 17:53

Body nespojitosti

#2 24. 01. 2011 18:21

Re: Body nespojitosti

#3 24. 01. 2011 18:36

Re: Body nespojitosti

#4 24. 01. 2011 18:50

Re: Body nespojitosti

#5 24. 01. 2011 19:02

Re: Body nespojitosti

unk.cory napsal(a):

#6 24. 01. 2011 20:19

Re: Body nespojitosti

#7 25. 01. 2011 17:05

Re: Body nespojitosti

#8 25. 01. 2011 23:15

Re: Body nespojitosti

#9 26. 01. 2011 13:58

Re: Body nespojitosti

Zápatí